Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл


На плоскости выбрана декартова система координат. Точки A1, A2, A3, A4 лежат на параболе y=x2, а точки B1, B2, B3, B4 лежат на параболе y=2009x2. Точки A1, A2, A3, A4 лежат на одной окружности, и точки Ai и Bi имеют одинаковые абсциссы при любом i=1,2,3,4. Докажите, что B1, B2, B3, B4 также лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
6 года 11 месяца назад #

1)

Положим что A1(a,a2), A2(b,b2), A3(c,c2), A4(d,d2) и a<b<c<d.

Положим что (x,y) центр описанной окружности A1A2A3A4, тогда

{(xa)2+(ya2)2=(xb)2+(yb2)2(xc)2+(yc2)2=(xd)2+(yd2)2(xb)2+(yb2)2=(xc)2+(yc2)2(xa)2+(ya2)2=(xd)2+(yd2)2

Откуда

{2x=(a+b)(a2+b2+12y)2x=(c+d)(c2+d2+12y)2x=(b+c)(b2+c2+12y)2x=(a+d)(a2+d2+12y)

Или

{(a+b)(a2+b2+12y)=(b+c)(b2+c2+12y)(c+d)(c2+d2+12y)=(a+d)(a2+d2+12y)

Или

{(a+b)(a2+b2+1)(b+c)(b2+c2+1)=2y(ac))(c+d)(c2+d2+1)(a+d)(a2+d2+1)=2y(ca)

Для первого

a(a2+b2+1)+b(a2+b2+1)b(b2+c2+1)c(b2+c2+1)=2y(ac)

(ac)(a2+b2+c2+ac+ab+bc+1)=2y(ac)

ac значит

y=a2+b2+c2+ac+ab+bc+12

Так же и второй

y=a2+c2+d2+ac+ad+cd+12

a2+b2+c2+ac+ab+bc+1=a2+c2+d2+ac+ad+cd+1

b2+ab+bc=d2+ad+cd

(bd)(b+d)=(db)(a+c)

(bd)(b+d+a+c)=0

a+b+c+d=0

Значит для координат (которые лежат на окружности) должно выполнятся условие a+b+c+d=0

2)

Докажем что для любых таких точек с координатами B1(a,na2), B2(b,nb2), B3(c,nc2), B4(d,nd2) которые лежат на параболе вида y=nx2 точки будут лежат на одной окружности.

Тогда A

B1B4(da, n(d2a2)), B1B2(ba,n(b2a2)), B3B4(dc,n(d2c2)), B3B2(bc,n(b2c2))

Тогда cos(B1B2,B1B4)=cos(B3B4,B3B2)

Преобразовывая

1+n2(a+d)(a+b)(1+n2(d+a)2)(1+n2(b+a)2)=1+n2(c+d)(b+c)(1+n2(d+c)2)(1+n2(b+c)2)

Учитывая то что a+b+c+d=0 получаем тождество.

В данном случае n=2009