5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл
Комментарий/решение:
1)
Положим что A1(a,a2), A2(b,b2), A3(c,c2), A4(d,d2) и a<b<c<d.
Положим что (x,y) центр описанной окружности A1A2A3A4, тогда
{(x−a)2+(y−a2)2=(x−b)2+(y−b2)2(x−c)2+(y−c2)2=(x−d)2+(y−d2)2(x−b)2+(y−b2)2=(x−c)2+(y−c2)2(x−a)2+(y−a2)2=(x−d)2+(y−d2)2
Откуда
{2x=(a+b)(a2+b2+1−2y)2x=(c+d)(c2+d2+1−2y)2x=(b+c)(b2+c2+1−2y)2x=(a+d)(a2+d2+1−2y)
Или
{(a+b)(a2+b2+1−2y)=(b+c)(b2+c2+1−2y)(c+d)(c2+d2+1−2y)=(a+d)(a2+d2+1−2y)
Или
{(a+b)(a2+b2+1)−(b+c)(b2+c2+1)=2y(a−c))(c+d)(c2+d2+1)−(a+d)(a2+d2+1)=2y(c−a)
Для первого
a(a2+b2+1)+b(a2+b2+1)−b(b2+c2+1)−c(b2+c2+1)=2y(a−c)
(a−c)(a2+b2+c2+ac+ab+bc+1)=2y(a−c)
a≠c значит
y=a2+b2+c2+ac+ab+bc+12
Так же и второй
y=a2+c2+d2+ac+ad+cd+12
a2+b2+c2+ac+ab+bc+1=a2+c2+d2+ac+ad+cd+1
b2+ab+bc=d2+ad+cd
(b−d)(b+d)=(d−b)(a+c)
(b−d)(b+d+a+c)=0
a+b+c+d=0
Значит для координат (которые лежат на окружности) должно выполнятся условие a+b+c+d=0
2)
Докажем что для любых таких точек с координатами B1(a,na2), B2(b,nb2), B3(c,nc2), B4(d,nd2) которые лежат на параболе вида y=nx2 точки будут лежат на одной окружности.
Тогда →A
→B1B4(d−a, n(d2−a2)), →B1B2(b−a,n(b2−a2)), →B3B4(d−c,n(d2−c2)), →B3B2(b−c,n(b2−c2))
Тогда cos(B1B2,B1B4)=−cos(B3B4,B3B2)
Преобразовывая
1+n2(a+d)(a+b)√(1+n2(d+a)2)(1+n2(b+a)2)=1+n2(c+d)(b+c)√(1+n2(d+c)2)(1+n2(b+c)2)
Учитывая то что a+b+c+d=0 получаем тождество.
В данном случае n=2009
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.