5-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2009 год
Комментарий/решение:
1)
Из условия следует что $ABCD$ вписанный и $CD=CN$ тогда $\angle ADM = 90^{\circ} - \dfrac{ \angle BAD}{2}$ найдя
$\angle MDH = \angle ADM - \angle ADH = 90^{\circ} - \dfrac{ \angle BAD}{2} - 90^{\circ} + \angle CAD = \angle CAD - \dfrac{ \angle BAD}{2}$ также
$\angle BDM = \angle CDN - \angle BAC = \dfrac{\angle BAD}{2} - \angle BAD + \angle CAD = \angle CAD - \dfrac{\angle BAD}{2}$
то есть $DM$ биссектриса $\angle HDB$.
2)
Треугольники $ACN, NHC$ подобны по общему углу и выполняемся соотношение $ \dfrac{CH}{CN}=\dfrac{CN}{AC}$ что верно учитывая что $CN=CD$ и $DH \perp AC$.
3)
Возьмём на отрезке $DB$ такую точку $H’$ что $DH=DH’$ и $F \in NH \cap CK$ тогда из первого пункта следует что $NH=NH’$ и $\angle NHM = NH’M$.
Отметим что $\angle ABD = \angle ANH’$ так как $NM$ биссектриса $HNH’$.
4)
Докажем что $CH’D,CAM$ подобны, так как $\angle BAD = \angle BDC = \angle CDH’$ и выполняется условие $\dfrac{CD}{DH’} = \dfrac{AC}{AM}$ что верно так как $DH’=DH$ и $AM=AD$ значит $\angle MCH’ = \angle ACD = \angle ABD $ откуда $BMH’C$ вписанный, значит $\angle MH’C = 90^{\circ}$ откуда
$\angle H’MC = \angle H’FC = \angle KFN = 90^{\circ}- \angle ANH’ = 90^{\circ} - \angle ABD$
значит $FMH’C$ вписанный, откуда $\angle MCK = \angle MH’N = \angle MHN$.
Пусть $CK \cap AB \in Q$, $HN \cap AB \in T.$
$\angle NCD$ $=$$180^\circ-\angle BAD$ $(1)$
$\angle NDC$ $=$$90^\circ-\angle NDA$ $=$ $\frac{\angle BAD}{2}$ $(2)$
$(1),(2)$ $\Rightarrow$ $\angle CND$ $=$$\angle CDN$ $\Rightarrow$ $CN$ $=$ $CD$
$ \triangle ADC:$ $CD^2=CH \cdot CA$ $\Rightarrow$ $CH \cdot CA=CN^2$
Следовательно описанная окружность $\triangle NHA$ касается $NC$
$\Rightarrow$ $\angle CNA$ $=$ $\angle NHC$,
$NKQB-$ вписанный $\Rightarrow$ $\angle CNA$ $=$ $\angle BQC$,
$\angle NHC$ $=$ $\angle BQC$ $\Rightarrow$ $TQCH-$ вписанный.
Теперь заметим что, $AD^2=AH \cdot AC$, $AD=AM$ $\Rightarrow$
$AM^2=AH \cdot AC$ $\Rightarrow$ описанная окружность $\triangle MHC$ касается $AB$, значит что $\angle MHC$ $=$ $\angle QMC$.
$\angle NHM$ $=$ $\angle THC - \angle MHC$ $=$ $\angle BQC - \angle QMC$ $=$ $\angle KCM$
$\Rightarrow$ $\angle MCK= \angle MHN$ $#$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.