Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2014-2015 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Есеп №1. Ұлу сағаттың циферблат бойымен сағат бағытына қарсы бірқалыпты жылдамдықпен қозғалады. Ол қозғалысын сағат дәл 12.00-де 12 сағаттық бағыттан бастады да, толық айналымды сағат дәл 14.00-де аяқтады. Ұлу қозғалыс барысында сағаттың минуттық тілімен кездескенде сағат қандай уақытты көрсеткен?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $2 \times 2$ тақтаның әр шаршысына бір саннан жазылған. Сандардың барлығы әр түрлі. Бірінші қатардағы сандардың қосындысы, екінші қатардағы сандардың қосындысына тең, ал бірінші бағандағы сандардың көбейтіндісі, екінші бағандағы сандардың көбейтіндісіне тең. Барлық жазылған төрт санның қосындысын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышының $A$ және $C$ төбелерінен шығатын биссектрисалар үшбұрышты бір төртбұрышқа және үш үшбұрыштарға бөледі. Сол үш үшбұрыштарың ішінде екі теңбүйірлі үшбұрыш бар. $ABC$ үшбұрышының бұрыштарын табыңдар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. $N$ санының $1$ және $N$-нен басқа барлық бөлгіштерін кему ретімен бір қатарға жазып шыққан: $d_1 > d_2 > \ldots > d_k$. Осы қатардың екі ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан екі кез келген бөлгіш жұптарының үлкені кішісіне бөлінетін болып шыққан (яғни $d_1$ саны $d_k$-ға бөлінеді, $d_2$ саны $d_{k-1}$ санына бөлінеді, тағы сол сияқты). Олай болса, $N$ санының кез келген екі бөлгіш жұбында үлкен бөлгіш кіші бөлгішке бөлінетінін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Екі ойыншы келесі ойын ойнайды. Бір жүрісте $1001 \times 1001$ тақтаның қандай-да бір шаршысына бір тас қоюға болады (басында тақта бос болған; бір шаршыда кез келген мөлшерде тас жата алады). Ойыншылар кезектесіп жүреді. Егер қандай-да бір ойыншының жүрісінен кейін қандай-да бір бағанда немесе қандай-да бір қатарда тас саны 5-тен асып кетсе, онда сол ойыншы ұтылған болып саналады. Дұрыс ойында қарсыласының ойнағанына қарамастан, қай ойыншы ұтады: бірінші жүрісті жүрген ойыншы ма, әлде екінші ма?
комментарий/решение(2)