Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, III тур дистанционного этапа

В каждую клетку таблицы $2 \times 2$ вписано по одному числу. Все числа различны, сумма чисел в первой строке равна сумме чисел во второй строке, а произведение чисел в первом столбце равно произведению чисел во втором столбце. Найдите сумму всех четырёх чисел.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 0.
Решение. Пусть в верхней строке таблицы стоят (слева направо) числа $a$ и $b$, а в нижней (слева направо) — числа $c$ и $d$. По условию $a+b = c+d$ и $ac = bd$. Выражая $c$ из первого уравнения и подставляя во второе, получаем $a(a+b-d) = bd \Leftrightarrow (a+b)(a-d) = 0$, откуда, поскольку $a-d \ne 0$, получаем $a = -b$. Аналогично, $d = -c$, откуда и получаем ответ.