Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, III тур дистанционного этапа

Задача №1.  Улитка ползет вокруг циферблата часов против часовой стрелки с постоянной скоростью. Она стартовала в 12.00 с отметки 12 часов, и закончила полный круг ровно в 14.00. Какое время показывали часы, когда улитка в ходе своего движения встречалась с минутной стрелкой?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В каждую клетку таблицы $2 \times 2$ вписано по одному числу. Все числа различны, сумма чисел в первой строке равна сумме чисел во второй строке, а произведение чисел в первом столбце равно произведению чисел во втором столбце. Найдите сумму всех четырёх чисел.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Биссектрисы углов $A$ и $C$ разрезают неравнобедренный треугольник $ABC$ на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы треугольника $ABC$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Все делители натурального числа $N$, кроме $N$ и единицы, выписали в ряд по убыванию: $d_1 > d_2 > \dots > d_k$. Оказалось, что в каждой паре делителей, одинаково удалённых от концов этого ряда, больший делитель делится на меньший (то есть $d_1$ делится на $d_k$, $d_2$ — на $d_{k-1}$ и т.д.). Докажите, что в любой паре делителей числа $N$ больший делитель делится на меньший.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Двое играют в такую игру. За один ход можно положить в одну из клеток квадратной доски $1001 \times 1001$ один камешек (первоначально доска пуста; в одной клетке может лежать любое число камешков). Ходят по очереди. Как только в каком-то ряду (вертикали или горизонтали) оказывается более 5 камешков, сделавший последний ход признается проигравшим. Кто из игроков сможет выиграть независимо от действий соперника: тот, кто делает первый ход или тот, кто ходит вторым?
комментарий/решение(2)

---