Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, III тур дистанционного этапа

Биссектрисы углов $A$ и $C$ разрезают неравнобедренный треугольник $ABC$ на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $180 ^\circ / 7, 2 \cdot 180 ^\circ / 7, 4 \cdot 180 ^\circ / 7$.
Решение. Пусть $AK$ и $CM$ — биссектрисы, $I$ — их точка пересечения. Посмотрим, какие углы в каких треугольниках могут быть равными. Треугольник $AIC$ равнобедренным быть не может: в нём $\angle AIC = 90 ^\circ +\angle ABC/2$ — тупой, а $\angle IAC = \angle BAC/2 \ne \angle BCA/2 = \angle ICA$. Невозможны также равенства $\angle MIA = \angle MAI$ и $\angle KCI = \angle KIC$, так как внешний угол треугольника $AIC$ не может быть равен внутреннему, не смежному с ним. Наконец, невозможно одновременное выполнение равенств $\angle MIA = \angle IMA$ и $\angle KIC = \angle IKC$, или одновременное выполнение равенств $\angle IAM = \angle IMA$ и $\angle ICK = \angle IKC$, так как тогда $\angle BAC = \angle ACB$. Поэтому остаётся единственная (с точностью до перестановки точек $A$ и $C$) возможность: $$ \angle AIM = \angle AMI = 90^\circ-\angle ABC/2 = 90 ^\circ -\angle BAC/4,$$ $$ \angle ICK = \angle IKC = \angle ACB/2 =90 ^\circ +\angle ABC/2-\angle ACB/2.$$ Это означает, что $2\angle ABC = \angle BAC$ и $\angle ACB = 90 ^\circ +\angle ABC/2$. Тогда $7\angle ABC/2 = 90 ^\circ$, что и приводит к ответу.