Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, III тур дистанционного этапа


Биссектрисы углов A и C разрезают неравнобедренный треугольник ABC на четырёхугольник и три треугольника, причём среди этих трёх треугольников есть два равнобедренных. Найдите углы треугольника ABC.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 180/7,2180/7,4180/7.
Решение. Пусть AK и CM — биссектрисы, I — их точка пересечения. Посмотрим, какие углы в каких треугольниках могут быть равными. Треугольник AIC равнобедренным быть не может: в нём AIC=90+ABC/2 — тупой, а IAC=BAC/2BCA/2=ICA. Невозможны также равенства MIA=MAI и KCI=KIC, так как внешний угол треугольника AIC не может быть равен внутреннему, не смежному с ним. Наконец, невозможно одновременное выполнение равенств MIA=IMA и KIC=IKC, или одновременное выполнение равенств IAM=IMA и ICK=IKC, так как тогда BAC=ACB. Поэтому остаётся единственная (с точностью до перестановки точек A и C) возможность: AIM=AMI=90ABC/2=90BAC/4, ICK=IKC=ACB/2=90+ABC/2ACB/2. Это означает, что 2ABC=BAC и ACB=90+ABC/2. Тогда 7ABC/2=90, что и приводит к ответу.