Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2014-2015 учебный год, III тур дистанционного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. 180∘/7,2⋅180∘/7,4⋅180∘/7.
Решение. Пусть AK и CM — биссектрисы, I — их точка пересечения. Посмотрим, какие углы в каких треугольниках могут быть равными. Треугольник AIC равнобедренным быть не может: в нём ∠AIC=90∘+∠ABC/2 — тупой, а ∠IAC=∠BAC/2≠∠BCA/2=∠ICA. Невозможны также равенства ∠MIA=∠MAI и ∠KCI=∠KIC, так как внешний угол треугольника AIC не может быть равен внутреннему, не смежному с ним. Наконец, невозможно одновременное выполнение равенств ∠MIA=∠IMA и ∠KIC=∠IKC, или одновременное выполнение равенств ∠IAM=∠IMA и ∠ICK=∠IKC, так как тогда ∠BAC=∠ACB. Поэтому остаётся единственная (с точностью до перестановки точек A и C) возможность:
∠AIM=∠AMI=90∘−∠ABC/2=90∘−∠BAC/4,
∠ICK=∠IKC=∠ACB/2=90∘+∠ABC/2−∠ACB/2.
Это означает, что 2∠ABC=∠BAC и ∠ACB=90∘+∠ABC/2. Тогда 7∠ABC/2=90∘, что и приводит к ответу.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.