Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2014-2015 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры


N санының 1 және N-нен басқа барлық бөлгіштерін кему ретімен бір қатарға жазып шыққан: d1>d2>>dk. Осы қатардың екі ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан екі кез келген бөлгіш жұптарының үлкені кішісіне бөлінетін болып шыққан (яғни d1 саны dk-ға бөлінеді, d2 саны dk1 санына бөлінеді, тағы сол сияқты). Олай болса, N санының кез келген екі бөлгіш жұбында үлкен бөлгіш кіші бөлгішке бөлінетінін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Легко видеть, что выполняются равенства N=d1dk=d2dk1=. Это позволяет переформулировать условие задачи следующим образом: если произведение двух делителей числа N равно этому числу, то больший из этих делителей делится на меньший. Пусть число N кроме простого делителя p имеет другие простые делители. Тогда N можно представить в виде произведения двух взаимно простых сомножителей, больших 1, что противоречит условию задачи. Поэтому число N есть степень простого числа, откуда и вытекает утверждение задачи.