Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, III тур дистанционного этапа

Все делители натурального числа $N$, кроме $N$ и единицы, выписали в ряд по убыванию: $d_1 > d_2 > \dots > d_k$. Оказалось, что в каждой паре делителей, одинаково удалённых от концов этого ряда, больший делитель делится на меньший (то есть $d_1$ делится на $d_k$, $d_2$ — на $d_{k-1}$ и т.д.). Докажите, что в любой паре делителей числа $N$ больший делитель делится на меньший.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Легко видеть, что выполняются равенства $N = d_1d_k = d_2 d_{k-1} = \dots $. Это позволяет переформулировать условие задачи следующим образом: если произведение двух делителей числа $N$ равно этому числу, то больший из этих делителей делится на меньший. Пусть число $N$ кроме простого делителя $p$ имеет другие простые делители. Тогда $N$ можно представить в виде произведения двух взаимно простых сомножителей, больших 1, что противоречит условию задачи. Поэтому число $N$ есть степень простого числа, откуда и вытекает утверждение задачи.