Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2014-2015 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

$N$ санының $1$ және $N$-нен басқа барлық бөлгіштерін кему ретімен бір қатарға жазып шыққан: $d_1 > d_2 > \ldots > d_k$. Осы қатардың екі ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан екі кез келген бөлгіш жұптарының үлкені кішісіне бөлінетін болып шыққан (яғни $d_1$ саны $d_k$-ға бөлінеді, $d_2$ саны $d_{k-1}$ санына бөлінеді, тағы сол сияқты). Олай болса, $N$ санының кез келген екі бөлгіш жұбында үлкен бөлгіш кіші бөлгішке бөлінетінін дәлелде.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Легко видеть, что выполняются равенства $N = d_1d_k = d_2 d_{k-1} = \dots $. Это позволяет переформулировать условие задачи следующим образом: если произведение двух делителей числа $N$ равно этому числу, то больший из этих делителей делится на меньший. Пусть число $N$ кроме простого делителя $p$ имеет другие простые делители. Тогда $N$ можно представить в виде произведения двух взаимно простых сомножителей, больших 1, что противоречит условию задачи. Поэтому число $N$ есть степень простого числа, откуда и вытекает утверждение задачи.