Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2014-2015 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

$2 \times 2$ тақтаның әр шаршысына бір саннан жазылған. Сандардың барлығы әр түрлі. Бірінші қатардағы сандардың қосындысы, екінші қатардағы сандардың қосындысына тең, ал бірінші бағандағы сандардың көбейтіндісі, екінші бағандағы сандардың көбейтіндісіне тең. Барлық жазылған төрт санның қосындысын табыңдар.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 0.
Решение. Пусть в верхней строке таблицы стоят (слева направо) числа $a$ и $b$, а в нижней (слева направо) — числа $c$ и $d$. По условию $a+b = c+d$ и $ac = bd$. Выражая $c$ из первого уравнения и подставляя во второе, получаем $a(a+b-d) = bd \Leftrightarrow (a+b)(a-d) = 0$, откуда, поскольку $a-d \ne 0$, получаем $a = -b$. Аналогично, $d = -c$, откуда и получаем ответ.