Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2007 год

Задача №1. Пусть

$S$ является множеством девяти различных целых чисел, значения простых делителей которых не превосходят 3. Докажите, что

$S$ содержит три различных целых числа, произведение которых является точным кубом.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Пусть треугольник

$ABC$ является остроугольным, где

$\angle BAC=60^\circ$ и

$AB>AC$ . Пусть

$I$ является центром вписанной окружности, а

$H$ — точкой пересечения высот треугольника

$ABC$ . Докажите, что

$2\angle AHI=3\angle ABC$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Рассмотрим

$n$ кругов

$C_1$ ,

$C_2$ ,

$\dots$ ,

$C_n$ на плоскости таких, что при любом

$1\leq i < n$ центр круга

$C_i$ лежит на окружности круга

$C_{i+1}$ , а центр круга

$C_n$ лежит на окружности круга

$C_1$ . Назовем весом такой расстановки

$n$ дисков число пар

$(i, j)$ для которых круг

$C_i$ целиком содержит круг

$C_j$ . Найдите максимально возможное значение такого веса (функцию зависимости с аргументом

$n$ ).
комментарий/решение

Задача №4. Пусть

$x$ ,

$y$ и

$z$ — положительные действительные числа такие, что

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ . Докажите, что

$\frac{{{x}^{2}}+yz}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}}+\frac{{{y}^{2}}+zx}{\sqrt{2{{y}^{2}}(z+x)}}+ \frac{{{z}^{2}}+xy}{\sqrt{2{{z}^{2}}(x+y)}}\geq 1.$
комментарий/решение(2)

Задача №5. Правильный

$5 \times 5$ массив фонарей после повреждения стал работать следующим образом: при переключении выключателя одного из фонарей соседние фонари и сам переключаемый фонарь меняют свое состояние из включенного в выключенный, из выключенного — во включенный (соседними считаются ближайшие фонари, стоящие в одной строке или столбце). Первоначально все фонари выключены. После определенного количества переключений в точности один фонарь остался включенным. Найдите всевозможные позиции данного фонаря.
комментарий/решение

результаты