Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2007 год

Правильный $5 \times 5$ массив фонарей после повреждения стал работать следующим образом: при переключении выключателя одного из фонарей соседние фонари и сам переключаемый фонарь меняют свое состояние из включенного в выключенный, из выключенного — во включенный (соседними считаются ближайшие фонари, стоящие в одной строке или столбце). Первоначально все фонари выключены. После определенного количества переключений в точности один фонарь остался включенным. Найдите всевозможные позиции данного фонаря.