Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2007 жыл

Есеп №1. $S$ жиыны бір-біріне тең емес тоғыз бүтін санынан құрылсын, және осы сандардың жәй бөлгіштерінің мәндері 3-тен аспасын. Көбейтіндісі толық куб болатындай $S$ жиынынан үш сан табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышында $\angle BAC=60{}^\circ $ және $AB > AC$ болсын, $I$ — нүктесі оған іштей сызылған шеңбердің центрі, ал $H$ биіктіктердің қиылысу нүктесі болсын. Онда $2\angle AHI=3\angle ABC$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. Жазықтықта $C_1$, $C_2$, $\ldots$, $C_n$ дөңгелектері жатыр, және кез-келген $1\le iсалмағы деп атайық. Максимал мүмкін салмақты ($n$-ға тәуелді функция ретінде) табыңыз.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Егер накты оң $x$, $y$ және $z$ сандары $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ теңдігін қанағаттандыратын болса $$\dfrac{{{x}^{2}}+yz}{\sqrt{2{{x}^{2}}(y+z)}}+\dfrac{{{y}^{2}}+zx}{\sqrt{2{{y}^{2}}(z+x)}}+\dfrac{{{z}^{2}}+xy}{\sqrt{2{{z}^{2}}(x+y)}}\ge 1$$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №5. Дұрыс $5 \times 5$ электр шам сілемі бұзылып келесідей жұмыс істейтін болды: шамның ажаратқышын басқан кезде шамның өзі және оның көршілері өз қалпын өзгертеді, жанып тұрса — сөнеді, сөніп тұрса — жанады (бір қатар немесе бір баған бойынша ең жақын тұрған шамдар көршілес болып табылады). Бастапқы кезде барлық шамдар сөніп тұрды. Ажаратқыштарды бірнеше рет басқаннан кейін тура бір шам жанған күйінде қалды. Осы шамның барлық мүмкін орындарын табыңыздар.
комментарий/решение

---