Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2006 год

Задача №1. Пусть

$n$ является натуральным числом. Найдите наибольшее неотрицательное действительное число

$f(n)$ (которое зависит от

$n$ ), удовлетворяющее следующему свойству: если

$a_1 + a_2 + \dots + a_n$ — является целым числом для действительных чисел

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_n$ , то существует

$i$ , такое что

$\left| {{a}_{i}}-\frac{1}{2} \right| \geq f(n)$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде конечной суммы различных целых степеней золотого сечения

$\tau =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ . Здесь под целой степенью золотого сечения

$\tau$ понимается число вида

${{\tau }^{i}}$ , где

$i$ — целое (не обязательно положительное).
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$p\geq 5$ является простым числом и пусть

$r$ есть число всевозможных различных способов размещения p шашек на шахматной доске размера

$p\times p$ таким образом, что не все шашки лежат на одной строке (но все они могут находиться в одном столбце). Докажите, что

$r$ делится на

$p^5$ . Здесь мы полагаем, что все шашки идентичны.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть различные точки

$A$ и

$B$ лежат на окружности

$O$ и точка

$P$ является серединой отрезка

$AB$ . Окружность

$O_1$ касается прямой

$AB$ в точке

$P$ и касается окружности

$O$ .

$\ell$ является касательной к окружности

$O_1$ , отличной от прямой

$AB$ и проходящей через точку

$A$ .

$C$ является точкой пересечения прямой

$\ell$ и окружности

$O$ , отличной от точки

$A$ . Точка

$Q$ является серединой отрезка

$BC$ , а окружность

$O_2$ касается прямой

$BC$ в точке

$Q$ и касается отрезка

$AC$ . Докажите, что окружность

$O_2$ касается окружности

$O$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. В цирке есть

$n$ клоунов, которые одеваются и гримируются путем выбора из 12 различных имеющихся цветов. При этом каждому клоуну необходимо использовать не менее 5 различных цветов. Однажды директор цирка потребовал, чтобы никакие два клоуна не использовали одинаковый набор цветов, и никакие более чем 20 клоунов не могли использовать любой из цветов одновременно. Найдите наибольшее из возможных значений числа

$n$ клоунов, так чтобы требование директора стало возможным.
комментарий/решение(1)

результаты