Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2006 год

Пусть различные точки $A$ и $B$ лежат на окружности $O$ и точка $P$ является серединой отрезка $AB$. Окружность $O_1$ касается прямой $AB$ в точке $P$ и касается окружности $O$. $\ell$ является касательной к окружности $O_1$, отличной от прямой $AB$ и проходящей через точку $A$. $C$ является точкой пересечения прямой $\ell$ и окружности $O$, отличной от точки $A$. Точка $Q$ является серединой отрезка $BC$, а окружность $O_2$ касается прямой $BC$ в точке $Q$ и касается отрезка $AC$. Докажите, что окружность $O_2$ касается окружности $O$.

Комментарий/решение

Пусть $\omega$ окружность с центром $O$ и $\omega_{1}$ вторая с радиусом $r$ , тогда $J,G \in OQ \cap \omega$ где $J$ лежит в полуплоскости $C$, покажем что $QO_{2}=GO_{2}$ это докажет касания окружности.

Пусть $D$ точка касания $\omega, \omega_{1}$ и $\angle CAD=x$, $\angle BAD = y$ и $O, O_{2}, Q$ лежат на одной прямой так как $BQ=CQ$ и $CO_{2}$ биссектриса $\angle ACB$

так же $A,O_{1},J$ лежат на одной прямой, так как $CJ=BJ$ тогда

$GJ = \dfrac{BC}{2 \sin(x+y)}$ и $QO_{2} = \dfrac{BC}{2} \cdot ctg (y)$ и $QJ=\dfrac{BC}{2} \cdot tg(\dfrac{x+y}{2})$

откуда $GO_{2} = GJ-QJ-QO_{2} = \dfrac{BC}{2} \cdot (ctg(\dfrac{x+y}{2})-ctg(y)) $ но так как $r \cdot ctg( \dfrac{x+y}{2}) = 2r \cdot ctg(y)$ откуда

$GO_{2}=QO_{2}$