Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2006 жыл
Әртүрлі A және B нүктелері O шеңберінде жатсын және P нүктесі AB кесіндісінің ортасы болсын. O1 шеңбері AB түзуін P нүктесінде және O шенберін жанасын. A нүктесі арқылы өтетін AB түзуінен өзге l түзуі O1 шеңберіне жанама болсын. O шенбері мен l түзулерінің қиылысуы — C нүктесі. BC кесіндісінің ортасы Q нүктесі, ал O2 шеңбері BC түзуін Q нүктесінде және AC кесіндісін жанасын. O2 шеңбері O шеңберін жанайтындығын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ω окружность с центром O и ω1 вторая с радиусом r , тогда J,G∈OQ∩ω где J лежит в полуплоскости C, покажем что QO2=GO2 это докажет касания окружности.
Пусть D точка касания ω,ω1 и ∠CAD=x, ∠BAD=y и O,O2,Q лежат на одной прямой так как BQ=CQ и CO2 биссектриса ∠ACB
так же A,O1,J лежат на одной прямой, так как CJ=BJ тогда
GJ=BC2sin(x+y) и QO2=BC2⋅ctg(y) и QJ=BC2⋅tg(x+y2)
откуда GO2=GJ−QJ−QO2=BC2⋅(ctg(x+y2)−ctg(y)) но так как r⋅ctg(x+y2)=2r⋅ctg(y) откуда
GO2=QO2
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.