Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2006 жыл


Әртүрлі A және B нүктелері O шеңберінде жатсын және P нүктесі AB кесіндісінің ортасы болсын. O1 шеңбері AB түзуін P нүктесінде және O шенберін жанасын. A нүктесі арқылы өтетін AB түзуінен өзге l түзуі O1 шеңберіне жанама болсын. O шенбері мен l түзулерінің қиылысуы — C нүктесі. BC кесіндісінің ортасы Q нүктесі, ал O2 шеңбері BC түзуін Q нүктесінде және AC кесіндісін жанасын. O2 шеңбері O шеңберін жанайтындығын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5
3 года 2 месяца назад #

Пусть ω окружность с центром O и ω1 вторая с радиусом r , тогда J,GOQω где J лежит в полуплоскости C, покажем что QO2=GO2 это докажет касания окружности.

Пусть D точка касания ω,ω1 и CAD=x, BAD=y и O,O2,Q лежат на одной прямой так как BQ=CQ и CO2 биссектриса ACB

так же A,O1,J лежат на одной прямой, так как CJ=BJ тогда

GJ=BC2sin(x+y) и QO2=BC2ctg(y) и QJ=BC2tg(x+y2)

откуда GO2=GJQJQO2=BC2(ctg(x+y2)ctg(y)) но так как rctg(x+y2)=2rctg(y) откуда

GO2=QO2