Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2006 жыл

Есеп №1. $n$ — натурал сан болсын. Келесі қасиетті қанағаттандыратындай ең үлкен теріс емес нақты $f(n)$ ($n$-нен тәуелді) санын табыныз: егер $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ нақты сандары үшін $a_1+a_2+\ldots+a_n$ — бүтін болса, онда $\left| {{a}_{i}}-\dfrac{1}{2} \right|\ge f(n)$ болатындай $i$ табылады.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Кез келген натурал санды ақырлы алтын қиманың $\tau $ ($\tau =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$) әртүрлі бүтін дәрежелерінің қосындысы ретінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіз. Мұндағы алтын қиманың $\tau $ бүтін дәрежесі ретінде мына ${{\tau }^{i}}$ түрдегі санды түсінеміз, мұндағы $i$-бүтін (міндетті түрде оң емес).
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $p\ge 5$ жай сан болсын және $p$ тастардың, барлығы бір жолда жатпайтындай(барлығы бір бағанда болуы мүмкін), $p\times p$ шахмат тақтасынадағы әртүрлі барлық мүмкін орналасу саны $r$ болсын. $r$ саны $p^5$-не бөлінетіндігін дәлелденіз. Бұл жерде барлық тастар бірдей деп есептейміз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Әртүрлі $A$ және $B$ нүктелері $O$ шеңберінде жатсын және $P$ нүктесі $AB$ кесіндісінің ортасы болсын. $O_1$ шеңбері $AB$ түзуін $P$ нүктесінде және $O$ шенберін жанасын. $A$ нүктесі арқылы өтетін $AB$ түзуінен өзге $l$ түзуі $O_1$ шеңберіне жанама болсын. $O$ шенбері мен $l$ түзулерінің қиылысуы — $C$ нүктесі. $BC$ кесіндісінің ортасы $Q$ нүктесі, ал $O_2$ шеңбері $BC$ түзуін $Q$ нүктесінде және $AC$ кесіндісін жанасын. $O_2$ шеңбері $O$ шеңберін жанайтындығын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Әртүрлі 12 түсті таңдау арқылы цирктағы $n$ клоун киінеді және боянады. Сонымен қатар әр клоунға кем дегенде 5 түсті пайдалану керек. Бір күні цирк директоры ешқандай екі клоун бірдей түстер жиынын қолданбауын және ешқандай 20-дан көп клоундар кез келген түсті бір уақытта қолдана алмауын талап етті. Директор талабы орындалуы мүмкін болатындай $n$-нің мүмкін болатын мәндерінен ең үлкенін табыңыз.
комментарий/решение(1)

---