Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2006 жыл

Есеп №1.

$n$ — натурал сан болсын. Келесі қасиетті қанағаттандыратындай ең үлкен теріс емес нақты

$f(n)$ (

$n$ -нен тәуелді) санын табыныз: егер

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_n$ нақты сандары үшін

$a_1+a_2+\ldots+a_n$ — бүтін болса, онда

$\left| {{a}_{i}}-\dfrac{1}{2} \right|\ge f(n)$ болатындай

$i$ табылады.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген натурал санды ақырлы алтын қиманың

$\tau$ (

$\tau =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ ) әртүрлі бүтін дәрежелерінің қосындысы ретінде көрсетуге болатынын дәлелдеңіз. Мұндағы алтын қиманың

$\tau$ бүтін дәрежесі ретінде мына

${{\tau }^{i}}$ түрдегі санды түсінеміз, мұндағы

$i$ -бүтін (міндетті түрде оң емес).
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$p\ge 5$ жай сан болсын және

$p$ тастардың, барлығы бір жолда жатпайтындай(барлығы бір бағанда болуы мүмкін),

$p\times p$ шахмат тақтасынадағы әртүрлі барлық мүмкін орналасу саны

$r$ болсын.

$r$ саны

$p^5$ -не бөлінетіндігін дәлелденіз. Бұл жерде барлық тастар бірдей деп есептейміз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Әртүрлі

$A$ және

$B$ нүктелері

$O$ шеңберінде жатсын және

$P$ нүктесі

$AB$ кесіндісінің ортасы болсын.

$O_1$ шеңбері

$AB$ түзуін

$P$ нүктесінде және

$O$ шенберін жанасын.

$A$ нүктесі арқылы өтетін

$AB$ түзуінен өзге

$l$ түзуі

$O_1$ шеңберіне жанама болсын.

$O$ шенбері мен

$l$ түзулерінің қиылысуы —

$C$ нүктесі.

$BC$ кесіндісінің ортасы

$Q$ нүктесі, ал

$O_2$ шеңбері

$BC$ түзуін

$Q$ нүктесінде және

$AC$ кесіндісін жанасын.

$O_2$ шеңбері

$O$ шеңберін жанайтындығын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Әртүрлі 12 түсті таңдау арқылы цирктағы

$n$ клоун киінеді және боянады. Сонымен қатар әр клоунға кем дегенде 5 түсті пайдалану керек. Бір күні цирк директоры ешқандай екі клоун бірдей түстер жиынын қолданбауын және ешқандай 20-дан көп клоундар кез келген түсті бір уақытта қолдана алмауын талап етті. Директор талабы орындалуы мүмкін болатындай

$n$ -нің мүмкін болатын мәндерінен ең үлкенін табыңыз.
комментарий/решение(1)

результаты