Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2006 год

Пусть $n$ является натуральным числом. Найдите наибольшее неотрицательное действительное число $f(n)$ (которое зависит от $n$), удовлетворяющее следующему свойству: если $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ — является целым числом для действительных чисел $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, то существует $i$, такое что $\left| {{a}_{i}}-\frac{1}{2} \right| \geq f(n)$.

Комментарий/решение

Ответ $f(n) = \left\{ \begin{gathered} 0, \, n \equiv 0 \pmod{2} \\ \frac{1}{2n}, \, n \equiv 1 \pmod{2} \\ \end{gathered} \right.$

Разберем два случая. Если $n$ четное, то можно взять $a_{j}=\frac{1}{2}, \, 1 \leq j \leq n$. Значит в этом случае $f(n) = 0$, так как число в модуле всегда не меньше $0$.

Если $n$ нечетно. Предположим, что $f(n) < \frac{1}{2n}$. Тогда $\frac{n-1}{2} = \frac{1}{2} \cdot n - \frac{1}{2n} \cdot n < a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} < \frac{1}{2} \cdot n + \frac{1}{2n} \cdot n = \frac{n+1}{2}$, противоречие. Значит $f(n) = \frac{1}{2n}$, так как для большего $f(n)$ есть контрпример: $a_{j}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}, \, 1 \leq j \leq n$