Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2006 жыл

$n$ — натурал сан болсын. Келесі қасиетті қанағаттандыратындай ең үлкен теріс емес нақты $f(n)$ ($n$-нен тәуелді) санын табыныз: егер $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ нақты сандары үшін $a_1+a_2+\ldots+a_n$ — бүтін болса, онда $\left| {{a}_{i}}-\dfrac{1}{2} \right|\ge f(n)$ болатындай $i$ табылады.

Комментарий/решение

Ответ $f(n) = \left\{ \begin{gathered} 0, \, n \equiv 0 \pmod{2} \\ \frac{1}{2n}, \, n \equiv 1 \pmod{2} \\ \end{gathered} \right.$

Разберем два случая. Если $n$ четное, то можно взять $a_{j}=\frac{1}{2}, \, 1 \leq j \leq n$. Значит в этом случае $f(n) = 0$, так как число в модуле всегда не меньше $0$.

Если $n$ нечетно. Предположим, что $f(n) < \frac{1}{2n}$. Тогда $\frac{n-1}{2} = \frac{1}{2} \cdot n - \frac{1}{2n} \cdot n < a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} < \frac{1}{2} \cdot n + \frac{1}{2n} \cdot n = \frac{n+1}{2}$, противоречие. Значит $f(n) = \frac{1}{2n}$, так как для большего $f(n)$ есть контрпример: $a_{j}=\frac{1}{2} + \frac{1}{2n}, \, 1 \leq j \leq n$