Processing math: 100%

Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2000 год


Задача №1.  Вычислите сумму S=100i=0x3i13xi+3x2i для всех xi=i101.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Дано размещение окружностей как показано на рисунке ниже. Каждое из чисел 1,2,,9 должно быть записано в одно их этих окружностей, таким образом, что каждая окружность содержит в точности одно из этих чисел и
(i) суммы четырех чисел на каждой стороне треугольника равны;
(ii) суммы квадратов четырех чисел на каждой стороне треугольника равны.
Найдите всевозможные варианты записей этих чисел.


комментарий/решение
Задача №3.  Пусть ABC — треугольник. Пусть M и N — точки пересечения медианы и биссектрисы соответственно, опущенных из вершины A на сторону BC. Пусть Q и P — точки в которых перпендикуляр из вершины Nк прямой NA пересекается с MAи BA соответственно, и O — точка в которой перпендикуляр из точки P к BA пересекается с AN. Докажите, что прямая QO перпендикулярна BC.
комментарий/решение(3)
Задача №4.  Пусть n, k — натуральные числа (n>k). Докажите, что 1n+1nnkk(nk)nk<n!k!(nk)!<nnkk(nk)nk.
комментарий/решение
Задача №5.  Дана перестановка (a0,a1,,an) последовательности 0,1,,n. Перестановка двух элементов ai и aj называется законной, если ai=0 для i>0 и ai1+1=aj. Перестановка (a0,a1,,an) называется регулярной, если после некоторого количества законных перестановок она примет вид: (1,2,,n,0). Для каких чисел n перестановка (1,n,n1,,3,2,0) будет регулярной?
комментарий/решение