Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2000 год
Задача №2. Дано размещение окружностей как показано на рисунке ниже. Каждое из чисел 1,2,…,9 должно быть записано в одно их этих окружностей, таким образом, что каждая окружность содержит в точности одно из этих чисел и
(i) суммы четырех чисел на каждой стороне треугольника равны;
(ii) суммы квадратов четырех чисел на каждой стороне треугольника равны.
Найдите всевозможные варианты записей этих чисел.
комментарий/решение
(i) суммы четырех чисел на каждой стороне треугольника равны;
(ii) суммы квадратов четырех чисел на каждой стороне треугольника равны.
Найдите всевозможные варианты записей этих чисел.
комментарий/решение
Задача №3. Пусть ABC — треугольник. Пусть M и N — точки пересечения медианы и биссектрисы соответственно, опущенных из вершины A на сторону BC. Пусть Q и P — точки в которых перпендикуляр из вершины Nк прямой NA пересекается с MAи BA соответственно, и O — точка в которой перпендикуляр из точки P к BA пересекается с AN. Докажите, что прямая QO перпендикулярна BC.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Пусть n, k — натуральные числа (n>k). Докажите, что
1n+1⋅nnkk(n−k)n−k<n!k!(n−k)!<nnkk(n−k)n−k.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Дана перестановка (a0,a1,…,an) последовательности 0,1,…,n. Перестановка двух элементов ai и aj называется законной, если ai=0 для i>0 и ai−1+1=aj. Перестановка (a0,a1,…,an) называется регулярной, если после некоторого количества законных перестановок она примет вид: (1,2,…,n,0). Для каких чисел n перестановка (1,n,n−1,…,3,2,0) будет регулярной?
комментарий/решение
комментарий/решение