Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2000 год
Вычислите сумму S=100∑i=0x3i1−3xi+3x2i для всех xi=i101.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
S=100∑i=0x3i1−3xi+3x3i=100∑i=0x3i(1−xi)3+x3i=100∑i=0i3(101−i)3+i3
ai=i3(101−i)3+i3⇒ai+a101−i=1,a0=0
S=100∑i=0ai=50∑i=0(ai+a101−i)=1+1+...+1⏟50=50
1−xi=1−i101=101−i101=x101−i
101∑i=0x3i1−3xi+3x2i=101∑i=0x3i(1−xi)3+x3i=101∑i=0x3ix3101−i+x3i=50∑i=0(x3ix3101−i+x3i+x3101−ix3101−i+x3i)=50∑i=01=51
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.