Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что число

$11 \ldots 1122 \ldots 22$ , состоящее из 100 единиц и 100 двоек, есть произведение двух последовательных целых чисел.
комментарий/решение(2)

Задача №2. В четырехугольнике

$ABCD$ , где

$AB$ и

$CD$ непараллельны, точка

$E$ — середина

$AB$ ,

$F$ — середина

$CD$ . Докажите, что середины отрезков

$AF$ ,

$CE$ ,

$BF$ и

$DE$ являются вершинами параллелограмма.
комментарий/решение(2)

Задача №3. Даны

$n+1$ различных натуральных чисел, меньших

$2n$ . Докажите, что из них можно выбрать три таких числа, что одно из них равно сумме двух других.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Что больше:

$2004^{2005}$ или

$2005^{2004}$
комментарий/решение(1)

Задача №5. Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 9 см, 12 см и 15 см.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Имеются 4 монеты, каждая из которых весит 10 г или 11 г, и весы с одной чашкой, которые показывают суммарный вес груза, положенного на чашку. За какое наименьшее число взвешиваний можно узнать вес каждой монеты?
комментарий/решение(1)