Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 9 класс

Найдите площадь треугольника, если его медианы равны 9 см, 12 см и 15 см.

Комментарий/решение

Ответ:72кв.ед.

Решение. Пусть дан $\triangle ABC$, в нем $O$-точка пересечения медиан. Медианы делят друг друга в отношении 2 к 1. Тогда $AO=10,OA_1=5,BO=6,OB_1=3,CO=8,OC_1=4$.Тогда $$2 (6^2+10^2)=8^2 +AB^2$$ $$2 (6^2+8^2)=10^2+ BC^2$$ $$2 (10^2+8^2)=6^2+AC^2$$ потому что,если продлить треугольник до параллелограмма, то медиана будет равна половине диагонали, а сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов диагоналей. $AB^2=208; BC^2=100; AC^2=292$.Теперь использовать будем теорему косинусов. $AB ^2=6^2+10^2-2*6*10*\cos AOB$; $\cos AOB =3/5$,значит $\ sin AOB =4/5$, $S_{\triangle AOB}=\dfrac {6*10*\dfrac {4}{5}}{2}=24$. Аналогично найдем оставшуюся площадь.