Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1994 год

Задача №1. Найдите все функции заданные на множестве вещественных чисел, удовлетворяющие следующим трем условиям:
(1) для любых вещественных

$x$ и

$y$ ,

$f(x) + f(y) + 1 \geq f(x + y) \geq f(x) + f(y);$
(2) для всех

$x \in [0,1)$ ,

$f(0) \geq f(x)$ ;
(3)

$-f(-1)= f(1) = 1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Докажите, что расстояние от ортоцентра невырожденного треугольника до центра описанной вокруг него окружности строго меньше

$3R$ , где

$R$ — радиус описанной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все натуральные

$n$ , которые можно представить в виде суммы квадратов двух взаимно простых чисел

$(n =a^2+b^2)$ , таким образом, что любое простое число

$p\leq \sqrt{n}$ является делителем

$ab$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Существует ли бесконечное множество точек на плоскости такое, что никакие три точки из него не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между ними рациональные?
комментарий/решение

Задача №5. В таблице

$A$ записаны числа

$10k$ (для всех

$k > 0$ ) в десятичной системе счисления, в таблице

$B$ они же записаны в двоичной, а в таблице

$C$ — в пятеричной:

$\begin{array}{*{20}{l}} A&B&C\\ {10}&{1010}&{20}\\ {100}&{1100100}&{400}\\ {1000}&{1111101000}&{13300}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots} \end{array}$ Докажите, что каким бы ни было число

$n > 1$ , найдется ровно одно число или в таблице

$B$ или в таблице

$C$ , в записи которого ровно

$n$ цифр.
комментарий/решение