Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1994 год

Докажите, что расстояние от ортоцентра невырожденного треугольника до центра описанной вокруг него окружности строго меньше $3R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_1, \omega_2$ - окружности, $O_1, O_2$ - их центры соответственно и $M \in \omega_2$, тогда чтобы найти $max(OM)$ нужно провести прямую проходящую через $O_1$ перпендикулярно $\omega_2$ (возникают две точки, нужна та $M$, чтобы $O_2$ лежало на отрезке $O_1M$). Это следует из рассуждения о $\triangle O_1O_2M: O_1O_2+O_2M \geq O_1M; O_1O_2+O_2M = O_1M \Leftrightarrow O_1,O_2,M -$ лежат на одной прямой.

Тогда Б.О.О. зафиксируем окружность $\omega$, центр $\omega=O$ и хорду $BC$. Точки $A \in \omega$, тогда ГМТ ортоцентров $H$ - окружность симметричная $\omega$ относительно $BC$ ($\omega',$ центр $=O'$). Тогда из рассуждений выше, $max(OH)$ достигается когда $O, A, O', H$ принадлежат одной прямой ($A,O'$ - лежат на отрезке $OH$).$OH \leq 3R;OH = 3R \Leftrightarrow A=B=C$ (совпадают), то есть в случае вырожденности, однако по условию он невырожденный, поэтому знак строгий.