Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 1994 год

Найдите все функции заданные на множестве вещественных чисел, удовлетворяющие следующим трем условиям:
(1) для любых вещественных $x$ и $y$, $f(x) + f(y) + 1 \geq f(x + y) \geq f(x) + f(y);$
(2) для всех $x \in [0,1)$, $f(0) \geq f(x)$;
(3) $-f(-1)= f(1) = 1$.

Комментарий/решение

$P(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$

$2f(\frac{1}{2})\geq 0$

$P(x,y)=(0,0)$

$f(0)\geq 2f(0) \geq 2f(\frac{1}{2}) \rightarrow f(0)=0$

$P(x,y)=(x,1-x), x \in [0,1)$

$f(x)+f(1-x)\geq 0=2f(0) \rightarrow f(x)=0, x\in [0,1)$

$P(x,y)=(x,y),x;y \in (\frac{1}{2},1)$

$1 \geq f(x+y) \geq 0, x+y>1$

$Lemma 1: f(x) \geq 0, x \in R^+ \cup{0}$

$P(x,y)=(1,y), y \in [0,1)$

$f(1+y)\geq 1$

$P(x,y)=(1,1+y), y \in [0,1)$

$f(2+y) \geq 2$

Продолжая получим что любое значение между целыми числами положительное

Теперь докажем то же для целых:

$P(x,y)=(1,1)$

$f(2) \geq 2$

$P(x,y)=(2,1)$

$f(3) \geq 3$

Продожая узнаем что любое целое значение также положительно

Ч.Т.Д.

$Lemma 2: f(-x) \leq 0, x \in R^+ \cup 0$

$P(x,y)=(x,-x)$

$0\geq f(x)+f(-x)$

Используя лемму $1$:

$-f(-x) \geq f(x)$

$f(x)\geq 0 \rightarrow -f(-x)\geq 0 \rightarrow f(-x) \leq 0$

Ч.Т.Д.

Допустим что существует такие $a,b$ которые удовлетворяют данным условиям:

$a<b$

$f(a)>f(b)$

$P(x,y)=(x,a-x)$

$f(a)\geq f(a-x)+f(x)$

$P(x,y)=(x,b-x)$

$f(a)>f(b-x)+f(x)$

$f(a-x)>f(b-x)$

$P(a-x,b-x)=(a-x \notin R^+, b-x \in R^+)$

Противоречие по леммам $1$ и $2$:

Значит для любого:

$a<b$

Выполняется:

$f(a)\leq f(b)$

Значит:

$f(x+y) \geq 1, x,y \in (\frac{1}{2},1)$

$f(x+y)=1$

$P(x,y)=(1,1)$

$f(2) \geq 2$

$P(x,y)=(1+x,1-x),x \in (0,1)$

$2\geq f(2) \rightarrow f(2)=2$

$P(x,y)=(1,1+x),x\in [0,1)$

$f(2+x)\geq 2$

$P(x,y)=(1-y,1+z),y;z \in [0,1)$

$2-y+z=2+x$

$2 \geq f(2+x) \rightarrow f(2+x)=2$

Аналогично:

$f(3+x)=3,f(4+x)=4,\dots f(n+x)=n \rightarrow x \in [0,1)$

Докажем что:

$-a=f(-a),a \in N$

$P(x,y)=(-1,-1)$

$f(-2)\geq -2$

$-f(x)\geq f(-x) \geq -1$

$-f(2)\geq f(-2) \rightarrow f(-2)=-2$

Аналогично для остальных

$(i)x \in (0, \frac{1}{2})$

$P(x,y)=(2x-1,-x)$

$f(2x-1)+f(-x)+1\geq f(x-1)$

$f(2x-1)+f(-x)\geq -2$

$-1=f(x-1) \rightarrow \in (0, \frac{1}{2})$

$P(2x-1,-x-1)$

$f(2x-1)+1+f(-x-1)\geq f(-x-2)\geq-2$

$-2=f(x-2)$

Для $f(x-3)$

$P(x,y)=(2x-1)(x-3)$

Аналогично получим:

$f(x-k)=-k,k \in N$

$(ii)x \in [\frac{1}{2},1)$

$P(x,y)=(x-1,x-1)$

$2f(x-1)+1\geq f(2x-2)\geq -1$

$f(2x-2)=-1$

$P(x,y)=(x-1,x-2)$

$f(x-1)+f(x-2)+1\geq f(2x-3)\geq -2$

$f(2x-3)=-2$

Аналогично: $f(2x-k)=1-k,k \in N$

$\lfloor{a}\rfloor$ - наибольшее целое число не превосходящее число $a$

Ответ: $f(x)=\lfloor{x}\rfloor$