Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1994 жыл
Комментарий/решение:
$P(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
$2f(\frac{1}{2})\geq 0$
$P(x,y)=(0,0)$
$f(0)\geq 2f(0) \geq 2f(\frac{1}{2}) \rightarrow f(0)=0$
$P(x,y)=(x,1-x), x \in [0,1)$
$f(x)+f(1-x)\geq 0=2f(0) \rightarrow f(x)=0, x\in [0,1)$
$P(x,y)=(x,y),x;y \in (\frac{1}{2},1)$
$1 \geq f(x+y) \geq 0, x+y>1$
$$$$
$Lemma 1: f(x) \geq 0, x \in R^+ \cup{0}$
$P(x,y)=(1,y), y \in [0,1)$
$f(1+y)\geq 1$
$P(x,y)=(1,1+y), y \in [0,1)$
$f(2+y) \geq 2$
Продолжая получим что любое значение между целыми числами положительное
Теперь докажем то же для целых:
$P(x,y)=(1,1)$
$f(2) \geq 2$
$P(x,y)=(2,1)$
$f(3) \geq 3$
Продожая узнаем что любое целое значение также положительно
Ч.Т.Д.
$$$$
$Lemma 2: f(-x) \leq 0, x \in R^+ \cup 0$
$P(x,y)=(x,-x)$
$0\geq f(x)+f(-x)$
Используя лемму $1$:
$-f(-x) \geq f(x)$
$f(x)\geq 0 \rightarrow -f(-x)\geq 0 \rightarrow f(-x) \leq 0$
Ч.Т.Д.
$$$$
Допустим что существует такие $a,b$ которые удовлетворяют данным условиям:
$a<b$
$f(a)>f(b)$
$P(x,y)=(x,a-x)$
$f(a)\geq f(a-x)+f(x)$
$P(x,y)=(x,b-x)$
$f(a)>f(b-x)+f(x)$
$f(a-x)>f(b-x)$
$P(a-x,b-x)=(a-x \notin R^+, b-x \in R^+)$
Противоречие по леммам $1$ и $2$:
Значит для любого:
$a<b$
Выполняется:
$f(a)\leq f(b)$
$$$$
Значит:
$f(x+y) \geq 1, x,y \in (\frac{1}{2},1)$
$f(x+y)=1$
$$$$
$P(x,y)=(1,1)$
$f(2) \geq 2$
$P(x,y)=(1+x,1-x),x \in (0,1)$
$2\geq f(2) \rightarrow f(2)=2$
$P(x,y)=(1,1+x),x\in [0,1)$
$f(2+x)\geq 2$
$P(x,y)=(1-y,1+z),y;z \in [0,1)$
$2-y+z=2+x$
$2 \geq f(2+x) \rightarrow f(2+x)=2$
Аналогично:
$f(3+x)=3,f(4+x)=4,\dots f(n+x)=n \rightarrow x \in [0,1)$
$$$$
Докажем что:
$-a=f(-a),a \in N$
$P(x,y)=(-1,-1)$
$f(-2)\geq -2$
$-f(x)\geq f(-x) \geq -1$
$-f(2)\geq f(-2) \rightarrow f(-2)=-2$
Аналогично для остальных
$(i)x \in (0, \frac{1}{2})$
$P(x,y)=(2x-1,-x)$
$f(2x-1)+f(-x)+1\geq f(x-1)$
$f(2x-1)+f(-x)\geq -2$
$-1=f(x-1) \rightarrow \in (0, \frac{1}{2})$
$P(2x-1,-x-1)$
$f(2x-1)+1+f(-x-1)\geq f(-x-2)\geq-2$
$-2=f(x-2)$
Для $f(x-3)$
$P(x,y)=(2x-1)(x-3)$
Аналогично получим:
$f(x-k)=-k,k \in N$
$(ii)x \in [\frac{1}{2},1)$
$P(x,y)=(x-1,x-1)$
$2f(x-1)+1\geq f(2x-2)\geq -1$
$f(2x-2)=-1$
$P(x,y)=(x-1,x-2)$
$f(x-1)+f(x-2)+1\geq f(2x-3)\geq -2$
$f(2x-3)=-2$
Аналогично: $f(2x-k)=1-k,k \in N$
$$$$
$\lfloor{a}\rfloor$ - наибольшее целое число не превосходящее число $a$
Ответ: $f(x)=\lfloor{x}\rfloor$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.