Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1994 жыл
Найдите все натуральные n, которые можно представить в виде суммы квадратов двух взаимно простых чисел (n=a2+b2), таким образом, что любое простое число p≤√n является делителем ab.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
(a,b)=1→(a2+b2,ab)=1
(n,ab)=1→p∤n
n∈P
Допустим что: a−b>1
Берем делитель q числа a−b
q≤a−b<√n
q∣ab
q∣a2−ab
q∣b2−ab
q∣a2+b2→q∣n→∅
(i)a=b
2a2∈P→a=1=b,n=2
(ii)a=b+1
b≥3
a2+b2>(a+1)2
r∣a+1
r∈P
r∣ab
2=(a+1,b)=(b,2)>1
(a,a+1)=1→r=2
q∣b−1
q∈P
q≠2
(b+1,b−1)>2→∅
Из чего b=1,a=2,n=5;b=2,a=3,n=13;
Ответ: n=2,5,13
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.