Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 1994 жыл


Найдите все натуральные n, которые можно представить в виде суммы квадратов двух взаимно простых чисел (n=a2+b2), таким образом, что любое простое число pn является делителем ab.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   0
1 года 11 месяца назад #

(a,b)=1(a2+b2,ab)=1

(n,ab)=1pn

nP

Допустим что: ab>1

Берем делитель q числа ab

qab<n

qab

qa2ab

qb2ab

qa2+b2qn

(i)a=b

2a2Pa=1=b,n=2

(ii)a=b+1

b3

a2+b2>(a+1)2

ra+1

rP

rab

2=(a+1,b)=(b,2)>1

(a,a+1)=1r=2

qb1

qP

q2

(b+1,b1)>2

Из чего b=1,a=2,n=5;b=2,a=3,n=13;

Ответ: n=2,5,13