Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1.  В гандболе за победу дают 2 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков.14 гандбольных команд провели турнир, где каждая команда с каждой сыграла по одному разу. Оказалось, что никакие две команды не набрали поровну очков. Могло ли случиться, что каждая из команд, занявших первые три места, проиграла каждой из команд, занявших последние три места? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$, в котором $AB = CD$, на сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $M$ соответственно. Оказалось, что $AM = KC$, $BM = KD$. Докажите, что угол между прямыми $AB$ и $KM$ равен углу между прямыми $KM$ и $CD$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  На доске в строчку написано $n$ подряд идущих натуральных чисел в порядке возрастания. Под каждым из этих чисел написан его делитель, меньший этого числа и больший 1. Оказалось, что эти делители тоже образуют строчку подряд идущих натуральных чисел в порядке возрастания. Докажите, что каждое из исходных чисел больше, чем $\frac{{{n}^{k}}}{{{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{k}}}$, где $p_1$, $p_2$, $\dots $, $p_k$ — все простые числа, меньшие $n$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  99 мудрецов сели за круглый стол. Им известно, что пятидесяти из них надели колпаки одного из двух цветов, а сорока девяти остальным — другого (но заранее неизвестно, какого именно из двух цветов 50 колпаков, а какого — 49). Каждый из мудрецов видит цвета всех колпаков, кроме своего собственного. Все мудрецы должны одновременно написать (каждый на своей бумажке) цвет своего колпака. Смогут ли мудрецы заранее договориться отвечать так, чтобы не менее 74 из них дали верные ответы? ( U. Feige )
комментарий/решение(1)

---