қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып
Есеп №2. Тақтаға үш сан жазылған: $4$, $7$, $13$. Тақтадан бір санды өшіріп орнына өшірілген санның екі есесінен басқа сандардың бірін азайтындысын жазуға рұқсат беріледі(мысалға: $(4, 7, 13) \rightarrow (4, 1, 13)$). Бұл операцияны бірнеше рет қайталады. Тақтадағы сандардың бірі келесідей болуы мүмкін бе: а) 2002; б) 2003?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №3. $a$, $b$ , $c$ сандары периметрі 2 болатын үшбұрыштың қабырғалары болсын. Теңсіздікті дәлелдеңіздер: $a^2+b^2+c^2 < 2(1-abc).$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. $y=f(x)+2g(x)$ функциясының графигі $A(-1,3)$ және $B(1,2)$ нүктелері арқылы өтетін түзу екені, ал $3f(x)-g(x)$ функциясының графигі $OY$--ке қатысты $AB$--ға симметриялы түзу екені белгілі. $f$ және $g$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №5. $ABC$ үшбұрышының $BK$ медианасы мен $CL$ биссектрисасы $P$ нүктесінде қиылысады.$\dfrac{PC}{PL}-\dfrac{AC}{BC}=1$ теңдігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $U_1$, $U_2$, $U_3$, $\ldots$, $U_1=U_2=1$ тізбегінде үшінші мүшесінен бастап оған дейінгі мүшелерінің квадраттарының қосындысына тең екені белгілі. $U_{2003}$ мүшесі 7-ге қалдықсыз бөліне ма?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. 2003 қатар тұрған натурал санның қосындысы натурал санның 2003 дәрежесі болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Өлшемі ${5 \times 5}$ шахмат тақтасының сол төменгі бұрышында король орналасқан. Бір жүрісте не жоғары бір тор, не оңға бір тор, не диагоналмен(оңға, жоғары) жоғарыға бір торға қозғалады. Король центрлік торды баспай оң жоғарғы бұрышына қанша түрлі жолмен бара алады?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №9. ${6\times6}$ квадрат тақтасы ${1 \times 2}$ домино сүйектерімен толтырылған. Ешбір доминоны қимайтындай не вертикаль не горизонталь түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №10. Тіктөртбұрыш болмайтын $ABCD$ параллелограмының диагоналдары $O$ нүктесінде қиылысады. $A$ нүктесінен $BC$, $BD$ и $CD$ түзулеріне жүргізілген биіктіктер табандары және $O$ нүктесі не бір шеңбердің бойында не бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)