Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 10 класс

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что точка $O$ и основания перпендикуляров, опущенных из точки $A$ на прямые $BC$, $BD$ и $CD$, лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Два решения

1) Пусть $AE \perp CD$ где $E \in CD$ и пусть $l || AD$ которая проходит через $O$ и $H \in l \cap AE$ опишем окружность $\omega$ около $HEO$ и $F \in \omega \cap BD$ тогда $\angle AHO = \angle DAH$ тогда $\angle DFE = \angle AHO = \angle DAH$ тогда $DAEF$ вписанный, значит $\angle AF \perp BD$.

Пусть $S \in BC \cap AE$ так как $AO=OC$ по свойству параллелограмма, тогда $AH=SH$ если $T \in \omega \cap BC$ которая ближе к $S$ тогда точки $H,E,O,T$ лежат на окружности девяти точек, значит если $AG \perp BC$ где $G \in BC$ тогда $G \in \omega$ то есть $\omega$ окружность девяти точек.

2) Пусть $X,Y,Z$ основания перпендикуляров из точки $A$ на стороны $BC,BD,CD$ соответственно.

Из условия следует что $XBYA,AYDZ$ вписанные откуда $\angle XYB = 90^{\circ}-\angle ABC$ и $\angle DYZ = 90^{\circ}-\angle ABC$ значит $\angle XYZ = 180^{\circ}-\angle XYB - \angle DYZ = 2\angle ABC$ докажем что $\angle XOZ=\angle XYZ$ .

Так как $O$ середины гипотенузы $AC$ для прямоугольных треугольников $AXC,AZC$ откуда $OA=OZ=OX$ откуда $\angle XOC = 180^{\circ}-2\angle XCA $ и $\angle ZOC = 180^{\circ}-2\angle ZCA $ откуда $\angle XOZ = \angle XOC + \angle ZOC = 2\angle ABC$ , откуда $XYOZ$ вписанный.