Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. При каких натуральных

$n$ число

$2^n + 65$ является квадратом натурального числа?
комментарий/решение(1)

Задача №2. На доске написаны три числа:

$4, ~7, ~13$ . Разрешается стереть одно из чисел и вместо него записать на доске разность между удвоенным стертым числом и одним из двух других чисел (например:

$(4, ~7, ~13) \rightarrow (4, ~1, ~13)$ ). Эту операцию провели несколько раз. Может ли одно из чисел оказаться равным: а) 2002; б) 2003?
комментарий/решение

Задача №3. Доказать неравенство

$a^2 + b^2 + c^2 < 2(1 - abc)$ , где

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — длины сторон треугольника, периметр которого равен 2.
комментарий/решение(3)

Задача №4. Известно, что график функции

$y=f(x)+2g(x)$ — прямая, проходящая через точки

$A(-1,3)$ и

$B(1,2)$ , а график функции

$3f(x)-g(x)$ — прямая,симметричная

$AB$ относительно оси

$OY$ . Найдите функции

$f$ и

$g$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Медиана

$BK$ и биссектриса

$CL$ треугольника

$ABC$ пересекаются в точке

$P$ . Доказать равенство

$\frac{PC}{PL}-\frac{AC}{BC}=1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В последовательности

$U_1,~ U_2, ~U_3, ~\ldots, ~U_1 = U_2 = 1$ , а каждое число, начиная с третьего, есть сумма квадратов двух предыдущих. Делится ли

$U_{2003}$ на 7?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Может ли сумма 2003 последовательных натуральных чисел быть 2003-й степенью натурального числа?
комментарий/решение(1)

Задача №8. В левом нижнем углу шахматной доски

$5 \times 5$ стоит король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо вверх, либо на одну клетку по диагонали — вправо и вверх. Сколькими различными путями король может пройти в правый верхний угол доски, если ему запрещается посещение центральной клетки?
комментарий/решение(1)

Задача №9. Квадратная доска

$6 \times 6$ заполнена костяшками домино

$1 \times 2$ . Докажите, что можно провести вертикальный или горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино.
комментарий/решение

Задача №10. Диагонали параллелограмма

$ABCD$ пересекаются в точке

$O$ . Докажите, что точка

$O$ и основания перпендикуляров, опущенных из точки

$A$ на прямые

$BC$ ,

$BD$ и

$CD$ , лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)