Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что число

$2003\cdot 2005\cdot 2007 \cdot 2009+16$ является полным квадратом.
комментарий/решение(9)

Задача №2. Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?
комментарий/решение(1)

Задача №3. В ящике находится 2003 черных шаров и 2004 белых. Из ящика извлекаются наугад 2 шара. Если их цвет оказывается одинаковым, то в ящик вместо вынутой пары опускается черный шар, если же цвета различны — то белый шар. Так происходит до тех пор, пока в ящике не останется один шар. Какого он цвета?
комментарий/решение(2)

Задача №4. Два стрелка произвели по 5 выстрелов, причем попадания были следующие: 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Первыми тремя выстрелами они выбили одинаковые количество очков, а тремя последними выстрелами первый стрелок выбил втрое больше, чем второй. Определите, сколько очков набрал каждый из них третьим выстрелом.
комментарий/решение(5)

Задача №5. В прямоугольном треугольнике

$ABC$ проведены биссектрисы острых углов

$AP$ и

$BQ$ , а в треугольниках

$ACP$ и

$BCQ$ — медианы

$CM$ и

$CN$ соответственно. Докажите, что сумма углов

$CMP$ и

$CNQ$ равна сумме углов

$MPQ$ ,

$NCM$ , и

$PQN$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. Докажите, что если

$a$ ,

$b$ ,

$c$ и

$\frac{ab+bc+ac}{a+b+c}$ — целые, то и число

$\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ — целое.
комментарий/решение(1)

Задача №7. Про три простых числа известно, что одно из них равно разности кубов двух других. Найдите эти числа.
комментарий/решение(1)

Задача №8. В

$\triangle ABC$ угол

$B$ три раза больше угла

$A$ и в шесть раз больше угла

$C$ , а сторона

$BC$ на 1 см. меньше стороны

$AC$ . Найдите длину биссектрисы

$BL$ .
комментарий/решение(2)

Задача №9. Решить уравнение:

$\left [\frac{6x+5}{8}\right]=\frac{15x-7}{5}$ , где через

$[a]$ обозначена целая часть действительного числа

$a$ .
комментарий/решение(3)

Задача №10. В левом нижнем углу шахматной доски

$5 \times 5$ стоит король. За один ход он может передвинуться либо на одну клетку вправо, либо на одну клетку вверх, либо на одну клетку по диагонали — вправо и вверх. Сколькими различными путями король может пройти в правый верхний угол доски?
комментарий/решение(1)