Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 8 класс
Докажите, что число $2003\cdot 2005\cdot 2007 \cdot 2009+16$ является полным квадратом.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть $2003=t$. Обозначим данное в задаче число через $A$. Тогда $A=t(t+2)(t+4)(t+6)+16=t(t+6) \cdot (t+2)(t+4)+16=(t^2+6t) \cdot (t^2+6t+8)+16$. Теперь, пусть $t^2+6t=B$. Тогда
$$ (t^2+6t) \cdot (t^2+6t+8)+16=B(B+8)+16=B^2+8B+16=(B+4)^2=(t^2+6t+4)^2.$$
$$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009+16=(2003^2+12022)^2.$$
$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009+16=k^2=(a+4)^2$
$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009+16=a^2+8a+16$
$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009=a^2+8a=a(8+a)$
$2003 \cdot 2009=4024027$
$2005 \cdot 2007=4024035$
$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009=a(8+a)=4024027(4024027+8)$
$a=4024027$
$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009=4024027^2+4024027 \cdot 8+16=4024031^2$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.