Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 8 класс

Докажите, что число $2003\cdot 2005\cdot 2007 \cdot 2009+16$ является полным квадратом.

Комментарий/решение

Пусть $2003=t$. Обозначим данное в задаче число через $A$. Тогда $A=t(t+2)(t+4)(t+6)+16=t(t+6) \cdot (t+2)(t+4)+16=(t^2+6t) \cdot (t^2+6t+8)+16$. Теперь, пусть $t^2+6t=B$. Тогда

$$(t^2+6t) \cdot (t^2+6t+8)+16=B(B+8)+16=B^2+8B+16=(B+4)^2=(t^2+6t+4)^2.$$

$$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009+16=(2003^2+12022)^2.$$

Можно замену $t=2006$, тогда $(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)+16=(t^2-9)(t^2-1)+16=t^4-10t^2+25=(t^2-5)^2$.

$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009+16=k^2=(a+4)^2$

$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009+16=a^2+8a+16$

$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009=a^2+8a=a(8+a)$

$2003 \cdot 2009=4024027$

$2005 \cdot 2007=4024035$

$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009=a(8+a)=4024027(4024027+8)$

$a=4024027$

$2003 \cdot 2005 \cdot 2007 \cdot 2009=4024027^2+4024027 \cdot 8+16=4024031^2$

это как решение в лоб

Просто ставим под мод

2003 по mod 4 дает 3

2005 по mod 4 дает 1

2007 по mod 4 дает 3

2009 по mod 4 дает 1

16 по mod 4 дает 0

3×1×3×1+0=1 по mod 4

x² при mod 4 дает остаток 0,1 и мы доказали что это полный квадрат

$13 \equiv 1 (mod 4)$, но 13 же не квадрат, тогда с чего вы решили, что одного сравнения по модулю 4 достаточно?

пфф, просто рассмотрите все нечетные квадраты, он нам облегчил задачу в несколько раз, вы че

$\Sigma$

Почему за решение не дают баллов хотя кто то просто написал слово и получил балл жестко