1. Олимпиадалар тізімі
  2. Математика олимпиадалары
  3. Республикалық олимпиада
  4. Аудандық кезең
  5. 2003-2004 оқу жылы
  6. 8 сынып

Математикадан аудандық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 8 сынып


Есеп №1. $2003\cdot 2005\cdot 2007 \cdot 2009+16$ саны толық квадрат екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(9)
Есеп №2. Ванна ыстық сумен 23 минутта толады, ал салқын сумен 17 минутта толады. Маша бірінші ыстық суды қосты. Ванна суға толған мезетте ыстық су салқын судан $1{,}5$ есе көп болатындай қанша минуттан кейін салқын суды қосу керек?
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Жәшікте 2003 қара шар және 2004 ақ шар бар. Жәшіктен кездейсоқ 2 шар алынады. Егер олардың түстері бірдей болса, онда олардың орнына жәшікке қара түсті шарды салады, ал түстері әр түрлі болса ақ шар салады. Осылайша жәшікте бір шар қалғанша орындалады. Қалған шардың түсі қандай?
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Екі мерген 5 реттен атты және олардың атқандағы ұпайлары мынадай болды: 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Алғашқы үш рет атқандағы жалпы ұпайы бірдей болды, ал соңғы үш рет атқанда біріншінің ұпайы екіншіден 3 есе көп болды. Үшінші атыста әрбірі қанша ұпайдан алғанын анықтаңдар.
комментарий/решение(5)
Есеп №5. $ABC$ тікбұрышты үшбұрышында сүйір бұрыштардан $AP$ және $BQ$ биссектрисалары жүргізілді, ал $ACP$ және $BCQ$ үшбұрыштарында $CM$ және $CN$ медианалары жүргізілген. $CMP$ және $CNQ$ бұрыштарының қосындысы $MPQ$, $NCM$ және $PQN$ бұрыштарының қосындысына тең екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $a$, $b$, $c$ және $\dfrac{ab+bc+ac}{a+b+c}$ сандары бүтін болса, онда $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ саны да бүтін екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №7. Берілген үш жай санның біреуі қалған екеуінің кубтарының айырымына тең екені белгілі. Осы сандарды табыңыздар.
комментарий/решение(1)
Есеп №8.  $ABC$ үшбұрышында $B$ бұрышы $A$ бұрышынан үш есе үлкен, ал $C$ бұрышынан алты есе үлкен. $BC$ қабырғасы $AC$ қабырғасынан 1-ге кем. $BL$ биссектрисасының ұзындығын табыңыздар.
комментарий/решение(2)
Есеп №9.  Теңдеуді шешіңіздер: $\left [\dfrac{6x+5}{8}\right]=\dfrac{15x-7}{5}$, мұндағы $[a]$ — нақты $a$ санының бүтін бөлігі.
комментарий/решение(3)
Есеп №10.  Өлшемі ${5 \times 5}$ шахмат тақтасының сол төменгі бұрышында король орналасқан. Бір жүрісте не жоғары бір тор, не оңға бір тор, не диагоналмен (оңға, жоғары) жоғарыға бір торға қозғалады. Король оң жоғарғы бұрышына қанша түрлі жолмен бара алады?
комментарий/решение(1)