Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Есеп №1. Үлкен квадраттан кіші квадрат кесіліп алынған (кіші квадраттың бір қабырғасы үлкен квадраттың қабырғасында жатыр). Пайда болған сегізбұрыштың периметірі алдыңғы үлкен квадраттың периметірінен $40 \%$-ке үлкен. Сегізбұрыштың ауданы алдыңғы үлкен квадраттың ауданынан неше процентке кіші?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Қатар келген үш жұп сан берілген. Бірінші санның ең үлкен өздік жұп бөлгішін, екіншісінің ең үлкен өздік тақ бөлгішін, ал үшіншісінің тағы да ең үлкен өздік жұп бөлгішін тапқан. Осы тапқан өздік бөлгіштердің қосындысы 2013-ке тең бола ала ма? (Санның бөлгіші өздік деп аталады, егер ол 1-ден және сол саннан өзгеше болса)
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Қабырғасы $AB=1$ болатын $ABCD$ параллелограммында $M$ нүктесі — $BC$ кесіндісінің ортасы, ал $AMD$ бұрышы 90 градусқа тең. $BC$ қабырғасын табыңыз.
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Шарик пен Матроскин шеңбер трассада шаңғымен жүреді. Шеңбердің жартысы тауға көтерілім де, ал жартысы таудан түсетін жол. Көтерілу кезіндегі олардың жалдамдықтары бірдей және ол жылдамдық олардың түскен кездегі жылдамдықтарынан төрт есе аз. Шариктің Матроскиннен ең кіші қалуы 4 км, ал ең үлкені 13 км. Трассаның ұзындығын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Өтірікшілер мен серілер елінде (серілер әрқашан шындықты, ал өтірікшілер әрқашан да өтірік айтады) он адамға 1-ден 10-ға дейінгі әр түрлі сан берілді.
Содан кейін, олардан «Сіздің саныныз 2-ге бөлінеді ма?» деп сұрады. Оң жауапты 3 адам берді.
«Сіздің саныныз 4-ке бөлінеді ма?» деген сұраққа оң жауапты 6 адам берді.
«Сіздің саныныз 5-ке бөлінеді ма?» деген сұраққа оң жауапты 2 адам берді.
Өтірікшілерге қандай сандар берілген?
комментарий/решение(1)