Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, IV тур дистанционного этапа

В параллелограмме $ABCD$ со стороной $AB = 1$ точка $M$ — середина стороны $BC$, а угол $AMD $ составляет 90 градусов. Найдите сторону $BC$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 2.
Решение 1. Проведем медиану $MN$ в треугольнике $AMD$. $ABMN$ — параллелограмм, поскольку $BM$ и $AN$ равны и параллельны, значит, $MN = BC = 1$. Но медиана $MN$ вдвое меньше гипотенузы $AD$ в прямоугольном треугольнике $AMD$, откуда $BC = AD = 2$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Ответ. 2.
Решение 1. Продлим отрезок $AM$ и сторону $CD$ до пересечения в точке $K$. Рассмотрим треугольник $ADK$. Отрезок $MC$ параллелен основанию $AD$ и равен его половине. Поэтому $MC$ — средняя линия, $AM = MK$ и $KD = 2CD = 2$. Но в рассматриваемом треугольнике медиана $DM $ совпадает с высотой, поэтому он равнобедренный и $AD = 2AB = 2$.

$$\square ABCD: DC=AB=1, BC=AD=x, BM=MC=\frac{x}{2}$$

$$\triangle ABM: AB=1, BM=\frac{x}{2} , \angle ABM= \alpha \Rightarrow$$

$$\Rightarrow AM=\sqrt{\frac{x^2}{4}+1-x\cos\alpha}$$

$$\triangle MCD: DC=1, MC=\frac{x}{2}, \angle DCM= 180^o-\alpha\Rightarrow$$

$$\Rightarrow MD=\sqrt{\frac{x^2}{4}+1+xcos \alpha}$$

$$\triangle ADM: AD^2=DM^2+AM^2 \Rightarrow \frac{x^2}{2}+2=x^2\Rightarrow x=AD=BC=2$$