Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Задача №1.  Из квадрата вырезали меньший квадрат, одна из сторон которого лежит на стороне исходного квадрата. Периметр полученного восьмиугольника на $40 \%$ больше периметра исходного квадрата. На сколько процентов его площадь меньше площади исходного квадрата?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Имеется три последовательных чётных числа. У первого из них нашли наибольший чётный собственный делитель, у второго — наибольший нечётный собственный делитель, у третьего — опять наибольший чётный собственный делитель. Может ли сумма трёх полученных делителей быть равна 2013? (Делитель натурального числа называется собственным, если он отличен от 1 и этого числа)
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В параллелограмме $ABCD$ со стороной $AB = 1$ точка $M$ — середина стороны $BC$, а угол $AMD $ составляет 90 градусов. Найдите сторону $BC$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №4.  Шарик и Матроскин ходят на лыжах по кольцевой трассе, половина которой представляет с собой подъем в гору, а половина — спуск с горы. На подъёме их скорости одинаковы и вчетверо меньше их скоростей на спуске. Минимальное отставание Шарика от Матроскина равно 4 км, а максимальное — 13 км. Найдите длину трассы.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  В стране лжецов и рыцарей (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут) десяти людям выдали различные числа от 1 до 10.
Потом каждого спросили: «Делится ли ваше число на 2?». Утвердительный ответ дали 3 человека.
На вопрос «Делится ли ваше число на 4?» утвердительный ответ дали 6 человек.
На вопрос «Делится ли ваше число на 5?» утвердительно ответили 2 человека.
Какие числа получили лжецы?
комментарий/решение(1)

---