Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, IV тур дистанционного этапа

В стране лжецов и рыцарей (рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут) десяти людям выдали различные числа от 1 до 10.
Потом каждого спросили: «Делится ли ваше число на 2?». Утвердительный ответ дали 3 человека.
На вопрос «Делится ли ваше число на 4?» утвердительный ответ дали 6 человек.
На вопрос «Делится ли ваше число на 5?» утвердительно ответили 2 человека.
Какие числа получили лжецы?

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Лжецы получили номера 2, 5, 6, 10.
Решение. Рассмотрим людей под номерами 4, 5, 8, 10. Ответы только этих людей на второй и третий вопросы могли отличаться. На второй вопрос ответило утвердительно на 4 человека больше, чем на третий. Это означает, что все люди под указанными номерами ответили «да» на второй вопрос и «нет» на третий. Но изменить ответ с «да» на «нет» могут только рыцари с номерами 4, 8, и лжецы с номерами 5, 10. Значит, номера 4 и 8 получили рыцари, а номера 5 и 10 — лжецы. Теперь ясно, что на второй вопрос все лжецы должны дать утвердительный ответ, и потому лжецов ровно четверо. В то же время на первый вопрос отвечают «да» только те лжецы, которые имеют нечётные номера и, значит, такой всего один (5), а лжецов с чётными номерами трое. Поэтому лжецам принадлежат оставшиеся «нераспределёнными» чётные номера 2 и 6, что и завершает решение.