Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Фёдордың туған күніне оның ата-анасы оған оның әкесі мен анасының жастарының көбейтіндісіне тең ақша береді. Фёдорға 2010 жылы мен 2011 жылы берілген ақша саны бірдей цифрға аяқталуы, ал 2012 жылы берілген ақша саны 10-ға бөлінуі мүмкін ба?
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Маша шахмат тақтасын бояп жаттығады. Бір жүрісте ол тақтаның бұрышына іргелес кез келген тіктөртбұрышты тақтаның барлық шаршыларын қарама-қарсы түске өзгертеді. Осындай амал қолданып, ол шахмат тақтасының шаршыларын бірдей түске бояй ала ма?
комментарий/решение(2)

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $AB$ мен $BC$ қабырғалары тең. $CA$, $AB$ және $BC$ сәулелерінде $AD=AC$, $BE=BA$, $CF=CB$ болатындай сәйкесінше $D$, $E$ және $F$ нүктелері белгіленген. $ADB$, $BEC$ және $CFA$ бұрыштарының қосындысын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Оң $x$ және $y$ сандары үшін $x^2 > x+y$ және $x^4 > x^3+y$ теңсіздіктері орындалады. $x^3 > x^2+y$ теңсіздігі орындалатының дәлелдеңіз.
комментарий/решение(6)

Есеп №5. Шеңбер бойымен 40 бала тұр. Егер қандай да бір бала сағат бойымен санағандағы одан кейінгі екі баладан ұзын болса, ол баланы сорақай дейік. Ал егер, қандай да бір бала сағат бойымен санағандағы оған дейінгі екі баладан қысқа болса, ол баланы ұсақ дейік (бала бір уақытта сорақай да, ұсақ та бола алады). Егер сорақайлар саны 30-дан кем емес болса, ұсақтар саны 20-дан кем емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)