Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, I тур дистанционного этапа

Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что $x^2 > x+y$, а $x^4 > x^3+y$. Докажите, что $x^3 > x^2+y$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Перепишем условие в виде $x^2-x = x(x-1) > y$, $x^4-x^3 = x^3(x-1) > y$, Доказать надо, что $x^3-x^2 = x^2(x-1) > y$. Заметим, что $x > 1$ — иначе $x(x-1) \leq 0 < y$. Но тогда $x^2(x-1) > x(x-1) > y$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Так как $x^2 > x+y$ и $x > 1$, $x^3 > x^2+xy > x^2+y$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №3.     Решение 3. Перемножим неравенства $x(x-1) > y$ и $x^3(x-1) > y$ (это возможно, так как $x-1 > 0$) и извлечем квадратный корень из обеих частей полученного неравенства. Получим искомое неравенство $x^2(x-1) > y$.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №4.     Замечание. Как видим, условие $x^4 > x^3+y$ — лишнее, но есть и использующие его решения.

$x^2 > x+y \Rightarrow x(x^2) > x(x+y) \Rightarrow x^3 > x^2+xy$

$x^4 > x^3 + y \Rightarrow \dfrac{x^4}{x} > \dfrac{x^3+y}{x} \Rightarrow x^3 > x^2+ \frac{y}{x}$

Получается:

$ \left\{ \begin{gathered} x^3 > x^2+xy \\ x^3 > x^2+ \frac{y}{x} \\ \end{gathered} \right. $

Плюсуем левые и правые части:

$ 2(x^3) > 2(x^2) + xy + \frac{y}{x} $

$ 2(x^3) > 2(x^2) + y(x+\frac{1}{x}) $

По AM $\geq$ GM верно:

$ x+\frac{1}{x} \geq 2 $

Получается:

$ 2(x^2) + y(x+\frac{1}{x}) \geq 2(x^2) + 2y $

$ 2(x^3) > 2(x^2) + 2y $

$ x^3 > x^2 + y $

$x^2>x+y \Rightarrow \ x(x-1)>0 \Rightarrow \ x-1>0$

Есептің шартындағы $x(x-1)>y$ және $x^3(x-1)>y$ теңсіздіктерін көбейтіп, екі жағының да квадраттық түбірін аламыз.

$ x^4(x-1)^2>y^2 \Rightarrow \ x^2(x-1)>y \Rightarrow \ x^3>x^2+y$