Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2012-2013 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1.  На день рождения родители дарят Дяде Фёдору сумму денег, равную произведению возраста папы на возраст мамы. Могло ли случиться, что в 2010 и 2011 годах полученные им суммы кончались на одну и ту же цифру, а сумма, полученная в 2012 году, делилась на 10?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Маша упражняется в перекрашивании шахматной доски. За один раз она может изменить цвет каждой клетки в любом прямоугольнике, прилегающем к углу доски. Получится ли у неё с помощью таких операций перекрасить всю доску в один цвет?
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  В треугольнике $ABC$ $AB = BC$. На лучах $CA$, $AB$ и $BC$ отмечены соответственно точки $D$, $E$ и $F$ так, что $AD = AC$, $BE = BA$, $CF = CB$. Найдите сумму углов $ADB$, $BEC$ и $CFA$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Положительные числа $x$ и $y$ таковы, что $x^2 > x+y$, а $x^4 > x^3+y$. Докажите, что $x^3 > x^2+y$.
комментарий/решение(6)

---

Задача №5.  40 детей стоят по кругу. Ребёнок называется дылдой, если он выше двух следующих за ним по часовой стрелке, и мелким, если он ниже обоих предшествующих ему по часовой стрелке. (Ребёнок может быть и мелким, и дылдой одновременно.) Известно, что дылд не меньше 30. Докажите, что мелких не меньше 20.
комментарий/решение(1)

---