Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, I тур дистанционного этапа

40 детей стоят по кругу. Ребёнок называется дылдой, если он выше двух следующих за ним по часовой стрелке, и мелким, если он ниже обоих предшествующих ему по часовой стрелке. (Ребёнок может быть и мелким, и дылдой одновременно.) Известно, что дылд не меньше 30. Докажите, что мелких не меньше 20.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Назовём обычными детей, не являющихся дылдами, а компанией — обычного ребенка и всех дылд, стоящих между ним и предыдущим по часовой стрелке обычным ребенком. В каждой компании все дети, кроме двух первых по часовой стрелке — мелкие, потому что каждому из них предшествуют двое дылд. Поскольку обычных детей не больше 10, компаний тоже не больше 10. Поэтому если мы удалим из каждой компании двух первых по часовой стрелке детей, останется не меньше 20 мелких, что и требовалось доказать.