Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение 1. Перепишем условие в виде x2−x=x(x−1)>y, x4−x3=x3(x−1)>y, Доказать надо, что x3−x2=x2(x−1)>y. Заметим, что x>1 — иначе x(x−1)≤0<y. Но тогда x2(x−1)>x(x−1)>y.
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2. Решение 2. Так как x2>x+y и x>1, x3>x2+xy>x2+y.
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №3. Решение 3. Перемножим неравенства x(x−1)>y и x3(x−1)>y (это возможно, так как x−1>0) и извлечем квадратный корень из обеих частей полученного неравенства. Получим искомое неравенство x2(x−1)>y.
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №4. Замечание. Как видим, условие x4>x3+y — лишнее, но есть и использующие его решения.
x2>x+y⇒x(x2)>x(x+y)⇒x3>x2+xy
x4>x3+y⇒x4x>x3+yx⇒x3>x2+yx
Получается:
{x3>x2+xyx3>x2+yx
Плюсуем левые и правые части:
2(x3)>2(x2)+xy+yx
2(x3)>2(x2)+y(x+1x)
По AM ≥ GM верно:
x+1x≥2
Получается:
2(x2)+y(x+1x)≥2(x2)+2y
2(x3)>2(x2)+2y
x3>x2+y
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.