Processing math: 100%

Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры


Оң x және y сандары үшін x2>x+y және x4>x3+y теңсіздіктері орындалады. x3>x2+y теңсіздігі орындалатының дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение 1. Перепишем условие в виде x2x=x(x1)>y, x4x3=x3(x1)>y, Доказать надо, что x3x2=x2(x1)>y. Заметим, что x>1 — иначе x(x1)0<y. Но тогда x2(x1)>x(x1)>y.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Решение 2. Так как x2>x+y и x>1, x3>x2+xy>x2+y.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №3.     Решение 3. Перемножим неравенства x(x1)>y и x3(x1)>y (это возможно, так как x1>0) и извлечем квадратный корень из обеих частей полученного неравенства. Получим искомое неравенство x2(x1)>y.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №4.     Замечание. Как видим, условие x4>x3+y — лишнее, но есть и использующие его решения.

  12
1 года 10 месяца назад #

x2>x+yx(x2)>x(x+y)x3>x2+xy

x4>x3+yx4x>x3+yxx3>x2+yx

Получается:

{x3>x2+xyx3>x2+yx

Плюсуем левые и правые части:

2(x3)>2(x2)+xy+yx

2(x3)>2(x2)+y(x+1x)

По AM GM верно:

x+1x2

Получается:

2(x2)+y(x+1x)2(x2)+2y

2(x3)>2(x2)+2y

x3>x2+y

  0
1 года 10 месяца назад #

x2>x+y x(x1)>0 x1>0

Есептің шартындағы x(x1)>y және x3(x1)>y теңсіздіктерін көбейтіп, екі жағының да квадраттық түбірін аламыз.

x4(x1)2>y2 x2(x1)>y x3>x2+y