қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, III тур дистанционного этапа
Задача №1. Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек.
В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку,
а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку.
Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились.
Сколько раз он попал?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60 градусов. Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60 градусам.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику,
он съел 3 тарелки мёда, 4 тарелки сгущёнки и 2 тарелки варенья,
а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды.
Но известно, что если бы он съел 2 тарелки мёда,
3 тарелки сгущёнки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки мёда,
2 тарелки сгущёнки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог
бы покинуть нору гостеприимного Кролика. От чего больше
толстеют: от варенья или от сгущёнки?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В каждой клетке клетчатой доски размером $50\times50$ записано по числу. Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне, и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали. Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так, что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)