Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2008-2009 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

Есеп №1. Дәл жеті нүктеде қиылысатын әр түрлі бес түзу сызыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Бала әкесімен бәрге тирға барды. Әкесі оған 10 оқ алып берді. Одан ары қарай әкесі баласынан әр дәл тигізбеген оқ үшін одан бір оқтан алып отырды, ал әр дәл тигізген оқ үшін оған бір оқтан беріп отырды. Бала дәл 55 рет оқ атқан, содан кейін оның оғы біткен. Бала қанша рет дәл тиген?
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Үшбұрыштың екі бұрышының биссектриссасы 60 градус жасап қиылысады. Осы үшбұрыштың бір бұрышы 60 градусқа тең екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Винни-Пух Кроликке қонаққа келгенде 3 тәрелке бал, 4 тәрелке қою сүт және 2 тәрелке варенье жеді. Осыдан ол семіріп, есіктен шаға алмай қалды. Ал егер ол 2 тәрелке бал, 3 тәрелке қою сүт және 4 тәрелке варенье немесе 4 тәрелке бал, 2 тәрелке қою сүт және 3 тәрелке варенье жесе, онда есіктен оңай шығып кете алушы еді. Сонда қай тамақтан Винни-Пух тез семіреді: вареньеден бе, әлде қою сүттен ба?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. $50 \times 50$ тақтаның әр шаршысында бір саннан жазылып тұр. Әр сан, оған қабырға бойынша көрші шаршыдағы сандар қосындысынан 3 есе кіші және оған диагональ бойынша көрші сандар қосындысыан 2 есе кіші. Қызыл шаршыдағы сандар қосындысы көк түстегі сандар қосындысына тең болатындай тақтаның шаршыларын қызыл және көк түске бояп шығуға болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)