Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Теңдеу жүйесін шешіңіз:

$\left\{ \begin{array}{l} x + \left[ y \right] + \left\{ z \right\} = 3,9,\\ y + \left[ z \right] + \left\{ x \right\} = 3,5,\\ z + \left[ x \right] + \left\{ y \right\} = 2, \end{array} \right.$ бұл жерде

$[x]$ саны —

$x$ -тың бүтін бөлімі, ал

$\{ x\} = x - [x]$ саны

$x$ -тің бөлшек бөлімі.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+8x+b$ және

$g\left( x \right)=b{{x}^{2}}+8x+a$ функцияларының ең кіші мәндерінің қосындысы нөлге тең

$\left( a > 0,b > 0 \right).$ Осы ең кіші мәндердің әрқайсысы 0-ге тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$m$ -ның барлық бүтін сандарын табыңыз, егер

$3{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0$ теңдеуінің барлық үш шешімі рационал сан болса.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$ABCD$ трапециясында (

$AD,BC$ — табандары)

$ABE$ ,

$BCE$ және

$CDE$ үшбұрыштарының периметрлері тең және

$E\in AD$ .

$AD=2BC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)