Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып


Есеп №1.  Теңдеу жүйесін шешіңіз: $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left[ y \right] + \left\{ z \right\} = 3,9,\\ y + \left[ z \right] + \left\{ x \right\} = 3,5,\\ z + \left[ x \right] + \left\{ y \right\} = 2, \end{array} \right.$$ бұл жерде $[x]$ саны — $x$-тың бүтін бөлімі, ал $\{ x\} = x - [x]$ саны $x$-тің бөлшек бөлімі.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+8x+b$ және $g\left( x \right)=b{{x}^{2}}+8x+a$ функцияларының ең кіші мәндерінің қосындысы нөлге тең $\left( a > 0,b > 0 \right).$ Осы ең кіші мәндердің әрқайсысы 0-ге тең екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $m$-ның барлық бүтін сандарын табыңыз, егер $3{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m=0$ теңдеуінің барлық үш шешімі рационал сан болса.
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABCD$ трапециясында ($AD,BC$ — табандары) $ABE$, $BCE$ және $CDE$ үшбұрыштарының периметрлері тең және $E\in AD$. $AD=2BC$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)