Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 10 класс

В трапеции $ABCD$ ($AD$, $BC$ — основания) периметры треугольников $ABE$, $BCE$ и $CDE$ равны, где $ E\in AD$. Доказать, что $AD = 2BC$.

Комментарий/решение

Нам достаточно доказать, что $ABCE $ и $BCDE $ являются параллелограммами. Доказав это, имеем, что $BC = AE = ED $, откуда $AD =AE+ED =BC +BC =2BC $. Достроим треугольник $ABE $ до параллелограмма $ABC_1E$ . Тогда периметры треугольников $ABE $ и $BC_1E $ равны. Но по условию периметры треугольников $ABE $ и $BCE $равны. Из этого следует, что периметр треугольника $ BCE $равен периметру $BC_1E $ . Из этого следует, что точки $C $ и $C_1$ совпадут. Следовательно, $ABCE $-параллелограмм. Аналогично доказывается, что $EBCD $- параллелограмм