Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

$ABCD$ трапециясында ($AD,BC$ — табандары) $ABE$, $BCE$ және $CDE$ үшбұрыштарының периметрлері тең және $E\in AD$. $AD=2BC$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Нам достаточно доказать, что $ABCE $ и $BCDE $ являются параллелограммами. Доказав это, имеем, что $BC = AE = ED $, откуда $AD =AE+ED =BC +BC =2BC $. Достроим треугольник $ABE $ до параллелограмма $ABC_1E$ . Тогда периметры треугольников $ABE $ и $BC_1E $ равны. Но по условию периметры треугольников $ABE $ и $BCE $равны. Из этого следует, что периметр треугольника $ BCE $равен периметру $BC_1E $ . Из этого следует, что точки $C $ и $C_1$ совпадут. Следовательно, $ABCE $-параллелограмм. Аналогично доказывается, что $EBCD $- параллелограмм