қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Решите систему уравнений:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
x+[y]+\{z\}=3,\!9, \\
y+[z]+\{x\}=3,\!5,\\
z+[x]+\{y\}=2,\\
\end{array}
\right.
$$
где $[x]$ — целая часть $x$, а $\{x\} = x - [x]$ — дробная часть.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Сумма минимального значения $f(x) = ax^2 + 8x + b$ и минимального
значения $g(x) = bx^2 + 8x + a$ равна нулю ($a > 0$, $b > 0$).
Докажите, что эти минимальные значения равны нулю.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все целые числа $m$, при которых все решения уравнения
$3x^3 - 3x^2 + m = 0$ рациональны.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В трапеции $ABCD$ ($AD$, $BC$ — основания) периметры треугольников $ABE$, $BCE$ и $CDE$ равны, где $ E\in AD$. Доказать, что $AD = 2BC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)