Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Решите систему уравнений:
{x+[y]+{z}=3,9,y+[z]+{x}=3,5,z+[x]+{y}=2,
где [x] — целая часть x, а {x}=x−[x] — дробная часть.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Сумма минимального значения f(x)=ax2+8x+b и минимального
значения g(x)=bx2+8x+a равна нулю (a>0, b>0).
Докажите, что эти минимальные значения равны нулю.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все целые числа m, при которых все решения уравнения
3x3−3x2+m=0 рациональны.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В трапеции ABCD (AD, BC — основания) периметры треугольников ABE, BCE и CDE равны, где E∈AD. Доказать, что AD=2BC.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)