Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 10 класс
Сумма минимального значения f(x)=ax2+8x+b и минимального
значения g(x)=bx2+8x+a равна нулю (a>0, b>0).
Докажите, что эти минимальные значения равны нулю.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Преобразовав квадратные трехчлены, имеем следующее: f(x)=ax2+8x+b=a(x+4a)2+b−16a⇒ fmin=b−16a
g(x)=bx2+8x+a=b(x+4b)2+a−16b⇒ gmin=a−16b.
По условию fmin+gmin=a+b−16a−16b=0. Тогда (a+b)⋅(1−16ab)=0. Так как a+b>0, то 1−16ab=0, ab=16. Значит, fmin=b−16a=ab−16a=0,gmin=a−16b=ab−16b=0.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.