Processing math: 27%

Математикадан аудандық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып


f(x)=ax2+8x+b және g(x)=bx2+8x+a функцияларының ең кіші мәндерінің қосындысы нөлге тең (a>0,b>0). Осы ең кіші мәндердің әрқайсысы 0-ге тең екенін дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   7 | Модератормен тексерілді
9 года назад #

Преобразовав квадратные трехчлены, имеем следующее: f(x)=ax2+8x+b=a(x+4a)2+b16a fmin

g(x)=bx^2+8x+a=b\left(x+\frac{4}{b}\right)^2+a- \frac{16}{b} \Rightarrow ~g_{\min}=a- \frac{16}{b}.

По условию f_{\min}+g_{\min}=a+b- \frac{16}{a}- \frac{16}{b}=0. Тогда (a+b)\cdot\left(1- \frac{16}{ab}\right)=0. Так как a+b>0, то 1- \frac{16}{ab}=0, ab=16. Значит, f_{\min}=b- \frac{16}{a}= \frac{ab-16}{a}=0,\quad g_{\min}=a- \frac{16}{b}= \frac{ab-16}{b}=0.