Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2002-2003 учебный год, 10 класс


Сумма минимального значения f(x)=ax2+8x+b и минимального значения g(x)=bx2+8x+a равна нулю (a>0, b>0). Докажите, что эти минимальные значения равны нулю.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   6 | проверено модератором
8 года 11 месяца назад #

Преобразовав квадратные трехчлены, имеем следующее: f(x)=ax2+8x+b=a(x+4a)2+b16a fmin=b16a

g(x)=bx2+8x+a=b(x+4b)2+a16b gmin=a16b.

По условию fmin+gmin=a+b16a16b=0. Тогда (a+b)(116ab)=0. Так как a+b>0, то 116ab=0, ab=16. Значит, fmin=b16a=ab16a=0,gmin=a16b=ab16b=0.